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使用 Lambda 表达式编写递归二:推断 FIX、g 的类型

2013-04-09 20:41 by 鹤冲天, ... 阅读, ... 评论, 收藏, 编辑
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《Stars》      作者:埃舍尔

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上一篇文章介绍的 λ 演算是无类型的,对于 FIX、g 我们只知道:它们都是有独个参数的函数,它们的参数本身也是一个只有单一参数的函数;同时,它们值是又一个只有单一参数的函数。

基于这种描述,是无法将 FIX、g 转化为 c# 代码的,我们需要推断出 FIX、g 类型。

我们先做一些假定,基于假定进行推导,得出结论再抽象为通用类型。

递归参数及返回值类型假定

对于常见的递归函数,如:阶乘、斐波那契数列求值,我们先作如下假定:

  1. 参数为 int 类型(Int32);
  2. 返回值为 long 类型(Int64)。

基于假推断各类型

FIX g 类型

根据上篇文章中的描述:

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FIX g = λn. (ISZERO n) 1 (MULT n ((FIX g) (PRED n)))
FIX g 5 = 5 * (4 * (3 * (2 * (1 * 1))) = 120

FIX g 返回的是我们需要的递归函数,这个递归函数

  • 接收一个 int 参数(上面假定第 1 条)值为 5
  • 返回一个 long 型数值(上面假定第 2 条)120。

因此,确定出 FIX g 的类型可表示为 Func<int, long>

同时也能看出 n 是递归函数的参数,n 类型为 int

g 类型

阶乘单步函数如下:

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g = λf. λn. (ISZERO n) 1 (MULT n (f (PRED n)))

c# 中可表达为:g => f => n => n == 0 ? 1 : n * f(n – 1)

先来推断 f 的类型:

  • f 的参数:f 接收 n – 1 作为参数,因此,f 参数的类型和 n – 1 类型相同,即 n 的类型:int;
  • f 的返回值:为 0 时返回 1,否则返回 n * f(n-1),f 的返回值类型也就是整个递归函数的返回值类型,即 long。

可确定 f 类型为 Func<int, long>

n => n == 0 ? 1 : n * f(n – 1) 是传入一个 int 返回一个 long,其类型 Func<int, long>

先来变换下 g 的表示形式:

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var g = (Func<int, long> f) => {
    Func<int, long> t = 
        n => n == 0 ? 1 : n * f(n - 1);
    return t;
};  // 示意代码

从上面这段代码可以清楚到看出 g 接收一个 Func<int, long> 类型的参数 f,返回一个类型为 Func<int, long> 的委托,可得出:

g 的类型为 Func<Func<int, long>, Func<int, long>>

FIX 类型

FIX g 可写作 FIX(g),可以看出: FIX g 的类型 == FIX(g) 的类型 == FIX 返回值的类型。前面得知 FIX g 类型为 Func<int, long>,也就可推出 FIX 返回值类型为 Func<int, long>

FIX 接受 g 作为参数,FIX 的参数类型也就是 g 的类型,可知 FIX 参数类型为 Func<Func<int, long>, Func<int, long>>。

由此得出 FIX 的类型为:Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>>

(估计这是多数开发人员见过的最复杂的泛型了。后面还在更复杂的吆!)

小结

名称 λ 演算表达式 数据类型
输入参数 n int
迭归返回值 FIX g n long
迭归函数 FIX g Func<int, long>
单步函数 g Func<Func<int, long>, Func<int, long>>
不动点组合子 FIX Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>>

通用类型

基于以上部分的推演和小结,我们可以归纳出通用类型:

名称 λ 演算表达式 数据类型
输入参数 n TInput
迭归返回值 FIX g n TResult
迭归函数 FIX g Func<TInput, TResult>
单步函数 g Func<Func<TInput, TResult>, Func<TInput, TResult>>
不动点组合子 FIX Func<Func<Func<TInput, TResult>, Func<TInput, TResult>>, Func<TInput, TResult>>

 

基于本文推断出的类型,不动点组合子转换为 c# 代码了不容易多了。下一篇文章 将以 Y 组合子为例进行说明。