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使用 Lambda 表达式编写递归三:实现 Y 组合子

2013-04-10 17:31 by 鹤冲天, ... 阅读, ... 评论, 收藏, 编辑

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也许你我都难以理解,为什么有人对她痴迷疯狂,铭记在心中不说,还要刻在身上:

y_combinator

她让人绞尽脑汁,也琢磨不定!她让人心力憔悴,又百般回味!

她,看似平淡,却深藏玄机!她,貌不惊人,却天下无敌!

她是谁?她就是 Y 组合子Y = λf.(λx.f (x x)) (λx.f (x x)),不动点组合子中最著名的一个。

 

小小开场抒情后,开始本文的内容,使用 c# 实现 Y 组合子。

本文继续使用上一篇文章中的类型假定,假定递归函数:

  • 参数为 int;
  • 返回值为 long。

实现 Y 组合子算法

Y 组合子 η-展开

Y 组合算子的定义:

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Y = λf.(λx.f(x x)) (λx.f(x x))

根据前文所述,对于传值调用,应使用 η-展开后的组合子:

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Y = λf.(λx.f(λv.((x x)v))) (λx.f(λv.((x x)v)))   

这个也称为 Z 组合子,是将  (x x) η-展开为  λv. ((x x) n))

不过我更倾向于另外一种 η-展开形式:即将 Y 组合子中的  f (x x)  η-展开为  λn. (f (x x) n)) ,最终得出:

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Y = λf.(λx.λn.(f(x x)n))) (λx.λn.(f(x x)n)))

(不知道这个组合子有没有名字,没有的话就姑且称为鹤冲天组合子吧,呵呵!)

进行一次 α-变换 变换(将参数 f 改成 g),得出:

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Y = λg.(λx.λn.(g (x x) n))) (λx.λn.(g(x x)n)))

简化 Y 组合子

仔细观察展开后的 Y,会发现:

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Y = λg.(λx.λn.(g(x x)n))) (λx.λn.(g(x x)n)))

右侧两个高亮部分是相同的,定义一个中间的变量 h:

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h = λx.λn.(g(x x)n) 

则 Y 可简化为:

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Y = λg.h h 
Y = λg.h(h)

Y 可表示为 Y = g => h(h)。

h 类型确定及实现

先来确定 h 的类型。

Y = λg. h(h) 变换一步得 Y g = h(h),再变换一次 Y(g) = h(h),可以看出 h 的返回值即是 Y 的返回值。

前文中已确定 Y 返回值的类型为 Func<int, long>,所以 h 的返回值类型为 Func<int, long>

再来确定 h 的参数类型,h 调用自身 h(h),因此 h 参数的类型就是 h 的类型,h 参数和 h 是同一类型,都是未确定的。

通过以下这个奇妙的委托,可以来表示自身调用有逻辑:

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delegate TResult SelfApplicable<TResult>(SelfApplicable<TResult> self);

借助 SelfApplicable<TResult> ,h 类型可表示为 SelfApplicable<Func<int, long>>

根据 h 的定义

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h = λx.λn.(g(x x)n) 
h = λx.λn.(g(x(x))(n)) 

由本系列第一篇文章中总结出的小规律,可写出 lambda表达式如下:

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SelfApplicable<Func<int, long>> h = x => n => g(x(x))(n);

说明:如果前面 Y 没有展开的话,你得出将是:

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SelfApplicable<Func<int, long>> h = x => g(x(x));

这样最终得出的 Y 可以编译通过,但运行时会出现死循环,最终导致 StackOverflowException。

Y 组合子实现

综合以上两小节的结论:

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Y = λg.h(h)
SelfApplicable<Func<int, long>> h = x => n => g(x(x))(n);

可写出 Y组合子的实现代码:

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Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>> Y = g => {
    SelfApplicable<Func<int, long>> h = x => n => g(x(x))(n);
    return h(h);
};

与之等同的方法为:

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public static Func<int, long> Y(Func<Func<int, long>, Func<int, long>> g) {
    SelfApplicable<Func<int, long>> h = x => n => g(x(x))(n);
    return h(h);
}

Y 组合子已实现,下面我们写出几个常用音频函数。

单步函数

根据上文确定出的 g 类型,可以写出:

阶乘的单步函数:

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Func<Func<int, long>, Func<int, long>> g = f => n => n == 0 ? 1 : n * f(n - 1);

斐波那契数列求值单步函数:

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Func<Func<int, long>, Func<int, long>> g = f => n => n < 2 ? n : f(n - 1) + f(n - 2);

进行阶乘计算

综合以上代码:

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delegate TResult SelfApplicable<TResult>(SelfApplicable<TResult> self);

static void Main(string[] args) {
    Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>> Y = g => {
        SelfApplicable<Func<int, long>> h = x => n => g(x(x))(n);
        return h(h);
    };
    Func<int, long> fact = Y(f => n => n == 0 ? 1 : n * f(n - 1));
    long result = fact(5);  // 结果为 120;
}

对 Y 组合子进行封装

考虑到 Y 的复杂度及重用,可以把相关代码封装成如下:

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public static class YCombitator {
    delegate TResult SelfApplicable<TResult>(SelfApplicable<TResult> self);
    public static Func<TInput, TResult> Fix<TInput, TResult>(Func<Func<TInput, TResult>, Func<TInput, TResult>> g) {
        SelfApplicable<Func<TInput, TResult>> h = x => n => g(x(x))(n);
        return h(h);
    }
}

使用时就方便多了:

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var factorial = YCombitator.Fix<int, int>(f => n => n == 0 ? 1 : n * f(n - 1));
var result1 = factorial(5);   // 120

var fibonacci = YCombitator.Fix<int, int>(f => n => n < 2 ? n : f(n - 1) + f(n - 2));
var result2 = fibonacci(5);   // 5

总结

通过本文及前面两篇文章的努力,终于使用 c# 实现 Y 组合子,达到了使用 lambda 构造递归函数的目的。

不过,本系列还没有结束:在msdn一篇文章中,我看到这样一种写法:

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public class Program{
  delegate T SelfApplicable<T>(SelfApplicable<T> self); 
  static void Main(string[] args)  {
     SelfApplicable<Func<Func<Func<int,int>, Func<int,int>>, Func<int,int>>> Y = y => f => x => f(y(y)(f))(x); 
     Func<Func<Func<int, int>, Func<int, int>>, Func<int, int>> Fix = Y(Y); 
     Func<Func<int,int>, Func<int,int>> F = fac => x => x == 0 ? 1 : x * fac(x-1); 
     Func<int,int> factorial = Fix(F);
     var result = factorial(5);   // 120 
   }
}

看上去比本文中的实现要简单方便,怎么得出的?我会在下一篇文章中告诉大家,敬请期待!

 

附:相关资源: