O(1) 查询gcd

我们来安利一个黑科技。（其实是Claris安利来的

比如我现在有一坨询问，每次询问两个不超过n的数的gcd。

n大概1kw，询问大概300w（怎么输入就不是我的事了，大不了交互库

http://mimuw.edu.pl/~kociumaka/files/stacs2013_slides.pdf

http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2013/3938/pdf/26.pdf 

我们定义一个数k的一种因式分解k=k1*k2*k3为“迷之分解”当且仅当k1、k2、k3为质数或小于等于$\sqrt{k}$ 。

我们发现线筛的时候对于一个数x，设x最小的质因子为p，x/p=g，那么x的“迷之分解”可以通过g的“迷之分解”中三个数最小的一个乘上p得到。

证明似乎可以用数学归纳法证(然而我证不出来啊

然后对于每两个小于等于$\sqrt{n}$ 的数我们可以打一张gcd表出来。

最后如果我们要询问gcd(x,y)，我们找到x的“迷之分解”，然后如果分解的一部分小于等于$\sqrt{n}$ 那就查表，否则那就是一个质数，分类讨论一下就行了。

伪代码:

UPD:实际测试了一下随机数据跑得并没有沙茶gcd快。可能是我实现的姿势不够优越(雾

大家可以测试一下跑gcd(5702887,9227465)这个算法比沙茶gcd不知道快到哪里去了

//跑得比谁都快的gcd？ 
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <time.h>
#include <limits>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;
const int N=10000000;
const int sn=sqrt(N);
bool np[N+5];
int ps[N+5],pn=0;
int cs[N+5][3];
void xs()
{
    np[1]=cs[1][0]=cs[1][1]=cs[1][2]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!np[i]) {cs[i][0]=cs[i][1]=1; cs[i][2]=i; ps[++pn]=i;}
        for(int j=1;j<=pn&&i*ps[j]<=N;j++)
        {
            np[i*ps[j]]=1;
            int cm=cs[i][0]*ps[j];
            if(cm<cs[i][1])
            {
                cs[i*ps[j]][0]=cm;
                cs[i*ps[j]][1]=cs[i][1];
                cs[i*ps[j]][2]=cs[i][2];
            }
            else if(cm<cs[i][2])
            {
                cs[i*ps[j]][0]=cs[i][1];
                cs[i*ps[j]][1]=cm;
                cs[i*ps[j]][2]=cs[i][2];
            }
            else
            {
                cs[i*ps[j]][0]=cs[i][1];
                cs[i*ps[j]][1]=cs[i][2];
                cs[i*ps[j]][2]=cm;
            }
            if(i%ps[j]);else break;
        }
    }
}
int gcdd[sn+3][sn+3];
void smgcd()
{
    for(int i=0;i<=sn;i++) gcdd[i][0]=gcdd[0][i]=i;
    for(int i=1;i<=sn;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++) gcdd[i][j]=gcdd[j][i]=gcdd[i-j][j];
    }
}
void pre_gcd() {xs(); smgcd();}
int gcd(int a,int b)
{
    if(a>N||b>N)
    {
        puts("Fuck You\n");
        return -1;
    }
    int *x=cs[a],g=1;
    for(int i=0;i<3;i++)
    {
        int d;
        if(x[i]<=sn) d=gcdd[x[i]][b%x[i]];
        else if(b%x[i]) d=1;
        else d=x[i];
        g*=d; b/=d;
    }
    return g;
}
int euclid_gcd(int x,int y)
{
    while(y)
    {
        int t=x%y; x=y; y=t;
    }
    return x;
}
int tmd=-1;
void gc()
{
    if(tmd==-1) tmd=clock();
    else
    {
        printf("Passed: %dms\n",clock()-tmd);
        tmd=-1;
    }
}
int main()
{
    int seed=time(0); 
    //1kw个随机数测试 
    int ans;
    printf("Euclid gcd...\n");
    srand(seed);
    gc();
    ans=0;
    for(int i=1;i<=10000000;i++)
    {
        int a=(rand()*32768+rand())%N+1,b=(rand()*32768+rand())%N+1;
        ans^=euclid_gcd(a,b);
    }
    printf("Ans = %d\n",ans);
    gc();
    printf("New gcd...\n");
    srand(seed);
    gc();
    pre_gcd();
    ans=0;
    for(int i=1;i<=10000000;i++)
    {
        int a=(rand()*32768+rand())%N+1,b=(rand()*32768+rand())%N+1;
        ans^=gcd(a,b);
    }
    printf("Ans = %d\n",ans);
    gc();
}