拉格朗日乘数法

1.upd.2025.7.2

math.extremum.alge.lmm

有关 拉格朗日乘数法 的使用

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适用条件：已知 \(f(x_1...x_n)\), 且有 \(k\) 个有效约束条件，求该函数的最值。

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有关拉格朗日乘数法正确性的证明需要曲面积分知识，这里略

先看一道题目

\(f(x,y) = x + y^2,x^2 + y^2 = 1,求f(x,y)极值\)

这道题可以用三角还原或是按x正负进行分类求导，这里使用拉格朗日乘数法解题

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\(设L(x,y) = f(x,y) + \lambda(x^2+y^2-1) = x+y^2+\lambda(x^2+y^2-1)\)

求出L(x,y)的两个偏导数

\(\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 1 + 2\lambda x \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 2y + 2\lambda y\end{cases}\)

我们再让两个偏导数等于0

\(\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 1 + 2\lambda x = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 2y + 2\lambda y = 0 \\ x^2 + y^2 -1=0\end{cases}\)

求解这个三元方程组

\(\left\{\begin{gathered}x=\dfrac{1}{2}\\\lambda=-1\\y=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}\right.,\,\;\left\{\begin{gathered}x=\dfrac{1}{2}\\\lambda=-1\\y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}\right.,\,\;\left\{\begin{gathered}x=1\\y=0\\\lambda=-\dfrac{1}{2}\end{gathered}\right.,\,\;\left\{\begin{gathered}x=-1\\y=0\\\lambda=\dfrac{1}{2}\end{gathered}\right.\)

该函数的极值则为1.25,-1