CF585C Alice, Bob, Oranges and Apples

感觉和辗转相除相似，考虑证明正确性

设当前 Alice 的橙子、苹果数为 \(a_0,a_1\)，Bob 同理，考虑构造状态矩阵
\(\begin{pmatrix} a_0 & b_0\\ a_1 & b_1\\ \end{pmatrix}\)，那么初始状态 \(I\) 为
\(\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}\)，那么 \(A\) 操作相当于
\(\times \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}\)，\(A\) 操作相当于
\(\times \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1\\ \end{pmatrix}\)

设 \(f(M)=\frac{a_0+b_0}{a_1+b_1}\)，相当于需要将 \(f(I)\) 变为 \(\frac{x}{y}\)，考虑矩阵乘法对 \(I\) 的改变，但是发现并不好做，由于知道最终状态，那么考虑倒序求解，设 \(P\) 为当前状态，且可以拆分为 \(P=AP'\)（下一步状态），若 \(f(P')=\frac{a+b}{c+d}=\frac{n}{m}\)，那么 \(f(P)=\frac{a+b+c+d}{c+d}=\frac{n+m}{m}\)，相当于 \(f(P)=\frac{n}{m}\)，若 \(n>m\)，\(f(P')=\frac{n-m}{m}\)，否则 \(f(P')=\frac{n}{m-n}\)，那么自然地利用辗转相除法求出此次乘上的是 \(A\) 还是 \(B\) 了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long x,y;
void exgcd(long long a,long long b){
	if(a>b){
		if(b!=1) printf("%lldA",a/b),exgcd(a%b,b);
		else printf("%lldA",a-1);
	}
	else{
		if(a!=1) printf("%lldB",b/a),exgcd(a,b%a);
		else printf("%lldB",b-1);
	}
}
int main(){
    scanf("%lld%lld",&x,&y);
	if(__gcd(x,y)==1) exgcd(x,y);
	else printf("Impossible");
	return 0;
}