狄利克雷卷积

在算术函数集上，可以定义一种二元运算，使得取这种运算为乘法，取普通函数加法为加法，使得算术函数集为一个交换环。其中一种这样的运算便是狄利克雷卷积。它和一般的卷积有不少相类之处。

对于算术函数f,g，定义其狄利克雷卷积(f * g)(n) = \sum_{d|n} f(d) g(\frac{n}{d})。

取狄利克雷卷积为运算，积性函数集是算术函数集的子群。

运算[编辑]

  • 交换律f * g = g * f
  • 结合律(f * g) * h = f * (g * h)
  • 分配律f * (g + h) = f * g + f * h = (g + h) * f
  • 存在单位函数ε使得f = f * \epsilon=\epsilon * f。ε(n)的值为1若n=1，否则ε(n)=0。
  • 对于任意算术函数f，若f(1)不等于0，都有唯一的逆函数f^{-1}，使得f * f^{-1} = \epsilon。

f^{-1}的值如下：

f^{-1}(1)= \frac{1}{f(1)}
对于n>1，f^{-1}(n)= \frac{-1}{f(1)} \sum_{d|n , n \ne d} f(\frac{n}{d}) f^{-1}(d)

默比乌斯函数μ的逆函数为（一般意义上的）1，即对于n \ne 1，\sum_{d|n} \mu(d) \times 1 = 0。这是默比乌斯反转公式的原理。

狄利克雷卷积以数学家狄利克雷命名。1857年刘维尔曾发表了许多包含这个运算的恒等式。将它视为二元运算这个观点是E. T. 贝尔和 M. Cipolla 在1915年提出的。

导数[编辑]

若定义f的“导数”f'(n) = f(n) \log(n)，可以发现这个运算和连续实函数的导数有不少相似的地方：

  • (f+g)' = f' + g'
  • (f*g)' = f*g' + f'*g
  • (f^{-1})' = \frac{-f'}{f*f}

级数[编辑]

对于算术函数f，定义其狄利克雷级数

DG(f;s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}

对于一些算术函数的狄利克雷级数，它们的积，跟那些算术函数的狄利克雷卷积的狄利克雷级数是相等的：

DG(f;s) DG(g;s) = DG(f*g;s)\,

这跟卷积定理很相似。

定义f的贝尔级数

f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty f(p^n)x^n.

也有类似的关系：

  • {(f*g)_p}(x) = f_p(x) \times g_p(x)

参考[编辑]

posted @ 2014-06-24 16:16  ZYF-ZYF  Views(2105)  Comments(0)  Edit  收藏  举报