字符串

简单写一写，以防后面忘了。

manacher

处理回文串有关的问题。具体地，对于一个字符串，manacher 可以线性地求出以其中的每个下标为中心的最长回文串的长度。

考虑如何做这个事情。首先长度为偶数的回文串因为没有中心所以难以处理，故考虑在字符串中任意相邻的位置间插入一个标记字符，同时在字符串的边界插入两个不同的标记字符。

接下来，设 \(w_i\) 表示以 \(i\) 为中心的最长回文串长度。考虑从左往右扫描求 \(w_i\) 的过程。

我们记 \(r\) 为 \(\max\limits_{j = 1}^{i - 1} w_j\)，\(p\) 为满足 \(w_p = r\) 的一个下标。接下来考虑 \(i\) 与 \(r\) 的大小关系。若 \(i \le r\)，则意味着以 \(p\) 为中心的回文串覆盖了 \(i\)。此时考察以 \(p\) 为中心的 \(i\) 的对称点 \(i'\)，我们必定有 \(w_i \ge \min\{w_{i'}, r - i + 1\}\)。因此直接继承这个值，并在此基础上暴力扩展 \(w_i\) 并更新 \(r\) 与 \(p\)。

该做法正确性显然。复杂度上，若 \(i\) 不会更新 \(r\)，则继承前面值后的运算次数必定为 \(O(1)\)。而对于 \(i\) 会更新 \(r\) 的情况，\(w\) 的总扩展次数必定为 \(O(n)\)。故总复杂度为 \(O(n)\)，证毕。

模板代码：https://www.luogu.com.cn/record/234713996

KMP

线性解决两个字符串匹配的问题。

我们称在另一个字符串中匹配的字符串为模式串，被匹配的为文本串。

考虑对于模式串，预处理数组 \(\text{nxt}\)，\(\text{nxt}_i\) 表示最大的满足 \(s_{[1, \text{nxt}_i]}\) 为 \(s_{[1, i]}\) 后缀的值。显然对于 \(i\)，我们可以从 \(\text{nxt}_{i - 1}\) 开始暴力跳去找 \(\text{nxt}_i\)。对于在文本串中匹配模式串的过程，也可以做类似的事情。

该做法的正确性可通过归纳证明得出。对于复杂度，考虑 \(\text{nxt}\) 数组最多只会向后拓展 \(n\) 次，而向前跳的次数必定不大于向后拓展的次数，故复杂度为 \(O(n + m)\)，证毕。