博弈论瞎学

爆了哦。

SG 函数

用在公平组合游戏里。

大概是说：每个状态都有一个 \(\text{SG}\) 函数，其值等于所有后记状态的 \(\text{SG}\) 函数的 \(\text{mex}\)。同时，若当前状态的 \(\text{SG}\) 值为正数，则当前状态为必胜态；否则（当前状态的 \(\text{SG}\) 值为 \(0\)），当前状态为必败态。

证明一下，当前状态的 \(\text{SG}\) 值为正数时，其必可以转移到一个 \(\text{SG}\) 值为 \(0\) 的状态，否则必定会转移到 \(\text{SG}\) 值为正的状态。

经典的取石子游戏（取完最后一个的人胜）就是把 \(\text{SG}(0)\) 设为 \(0\) 算。然后改成取完最后一个的人败的话，好像只需要把 \(\text{SG}(0)\) 设为 \(1\) 就行了。

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\(\text{SG}\) 定理：若一个博弈可分为多个独立子博弈，则整个博弈的 \(\text{SG}\) 值等于所有子博弈的 \(\text{SG}\) 值的异或和。

证明如下：

首先，若在任何情况下，我们都可以通过一步操作使得 \(\text{SG}\) 从非 \(0\) 变成 \(0\)，则定理必定成立。接下来考虑如何证明这个事情。

设当前状态的 \(\text{SG}\) 值为 \(p\) 且其二进制最高位为第 \(k\) 位，则首先，当前状态必定至少存在一个子博弈，满足其二进制的第 \(k\) 位为 \(1\)，这个显然。接下来，由前文定义得，对于任意小于该子状态的 \(\text{SG}\) 值的 \(\text{SG}\) 值，该子状态都可以一步转移到 \(\text{SG}\) 值为该值的状态。

于是，考虑将该状态大于 \(k\) 的位保持不变，第 \(k\) 位由 \(0\) 变 \(1\)，\(1\) 到 \(k - 1\) 位变为值为 \(p - 2^{k - 1}\) ，取这样的一个 \(\text{SG}\) 值，并将这个状态转移过去，总状态的 \(\text{SG}\) 值将变为 \(0\)。容易发现这样的转移必定正确。

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来点题。

• ABC297G - Constrained Nim 2

  考虑子问题的 \(\text{SG}\) 函数。首先设有一个数量为 \(x\) 的石子堆，则：

  • \(x < l\) 时，\(\text{SG}\) 值显然为 \(0\)。
  • \(l \le x < 2l\) 时，一步操作必然会转移到 \(x < l\) 的情况，故 \(\text{SG}\) 值为 \(1\)。
  • \(2l \le x < 3l\) 时，一步操作会转移到上面的两种状态中，故 \(\text{SG}\) 值为 \(2\)。

  以此类推，我们可以发现，当 \(x < l + r\) 的时候，\(\text{SG}\) 值就是 \(\lfloor \frac{x}{l} \rfloor\)。接下来考虑 \(x \ge l + r\) 的情况。

  • \(l + r \le x < 2l + r\) 时，显然先手必败，故 \(\text{SG}\) 值为 \(0\)。
  • \(2l + r \le x < 3l + r\) 时，转移到 \(x < l + r\) 的话先手仍然必败，故先手必定会转移到 \(l + r \le x < 2l + r\) 的情况，\(\text{SG}\) 值为 \(1\)。

  进一步地，设当前的状态 \(x\) 位于区间 \([p \times (l + r), (p + 1) \times (l + r))\) 时，感性理解可以发现，先手必定不会进行一步跃出这个区间的转移。理性分析就是跃出这个区间的话，因为它不会减去超过 \(r\) 的值，所以跃出这个区间后，\(\text{SG}\) 值必定比只考虑这个区间内的情况的 \(\text{SG}\) 值要大。

  故对于数 \(x\)，其 \(\text{SG}\) 值为 \(\lfloor \frac{x \% (l + r)}{l} \rfloor\)。最终答案只需用 \(\text{SG}\) 定理求一下并判断即可。

考场上要学会打表观察 \(\text{SG}\) 函数的值，别再推你的策略了。