如何使用Dilworth定理

相关例题:NOIP 1999导弹拦截

遇到这题不会去网上搜Dilworth定理,太难受了,看不懂证明

但是,我知道怎么使用了,管那么多,会用就完事了

学习自这篇文章

-1.为什么我不想学证明这个定理

Dilworth定理
在数学理论中的序理论与组合数学中，Dilworth定理根据序列划分的最小数量的链描述了任何有限偏序集的宽度。其名称取自数学家Robert P. Dilworth。
定理内容
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反链是一种偏序集，其任意两个元素不可比；而链则是一种任意两个元素可比的偏序集。Dilworth定理说明，存在一个反链A与一个将序列划分为链族P的划分，使得划分中链的数量等于集合A的基数。当存在这种情况时，对任何至多能包含来自P中每一个成员一个元素的反链，A一定是此序列中的最大反链。同样地，对于任何最少包含A中的每一个元素的一个链的划分，P也一定是序列可以划分出的最小链族。偏序集的宽度被定义为A与P的共同大小。
另一种Dilworth定理的等价表述是：在有穷偏序集中，任何反链最大元素数目等于任何将集合到链的划分中链的最小数目。一个关于无限偏序集的理论指出，在此种情况下，一个偏序集具有有限的宽度w，当且仅当它可以划分为最少w条链。 [1]  



归纳性证明
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令P为一有限偏序集，理论认为P为空集时显然成立。假设P最少有一个元素，令a为P中的极大值。
根据归纳法，假设存在一整数k，使得偏序集  可以被k个不相交的链  覆盖，且最少存在一个大小为k的反链  。显然，  ，  。令  为  的极大值，  ，  为  中大小为k的反链，令  ，  为包含  的大小为k的反链。确定任意不等的索引  ，那么  。令  ，根据  的定义，  。因此，由  推断出  。通过交换  ，可以得到  。由此得证，A为反链。
现在来讨论P。首先假设，  ，  。令K为链  。那么，通过选择  ，使得  不包含大小为k的反链。由于  是  中大小为k-1的反链，归纳推出  可以被k-1个不相交的链覆盖。因此，正如所需要证明的，P可以被k个不相交的链覆盖。其次，如果  ，  ，那么由于a是P的极大值， 为P中大小为k+1的反链。现在，P可以被k+1个链 覆盖。到此，定理全部证明结束。 [2]  

0.定理的妙处

成功把LIS问题的最小划分次数与最大长度联系在一起

1.基本概念

反链:

简单说就是:>与<=,<与>=

举栗子就是:最大上升子序列(>)的反链是最大不上升子序列(<=),,,最大下降子序列(<)的反链就是最大不下降子序列(>=)

记住不要漏等号

2.下结论

　　　链的最少划分数=反链的最长长度 (不是我自己总结的)

3.举栗子

文字例子:

@1:一个序列最少可以分成n个最长上升子序列,这个序列最长不上升子序列长度为m,则n=m

@2:一个序列最少可以分成n个最长下降子序列,这个序列最长不下降子序列长度为m,则n=m

具体例子:

现在有序列 8 5 2 7 6 4 3 1,它最少可以分为n=2个最长下降子序列,即8 7 6 4 3 1和5 2,,,(8 5 2 7 6 4 3 1)

它最长不下降子序列长度为m=2,即5 7,5 6,2 7,2 6,2 4或2 3,反正没有一个长度超过2的

然后必有n=m,这里的栗子也看出来了,n等于2,m也等于2