Simpson的1/3规则和3/8规则

我们需要分别使用Simpson的1/3规则和3/8规则来求解以下定积分：

\(\int_{-2}^{4} (1-x-4x^3+2x^5) \, dx\)

(a) 首先，我们使用Simpson的1/3规则。这个规则对于三个等距的点\(a\), \(b\), \(c\)，其近似积分为：

\(\frac{b-a}{6}[f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)]\)

我们的间距\(h = (4 - (-2)) / 2 = 3\)，而\(a = -2\)，\(b = 1\)，\(c = 4\)。然后，我们需要计算\(f(a)\)，\(f((a+b)/2)\)，和\(f(b)\)。这三个值分别为：

\(f(-2) = 1-(-2)-4(-2)^3+2(-2)^5 = -158\)

\(f(1) = 1-1-4(1)^3+2(1)^5 = -2\)

\(f(4) = 1-4-4(4)^3+2(4)^5 = 2416\)

所以，用Simpson的1/3规则我们有：

\(\frac{3}{6}[-158 + 4(-2) + 2416] = 377.5\)

(b) 接下来，我们使用Simpson的3/8规则。这个规则对于四个等距的点\(a\), \(b\), \(c\)，\(d\)，其近似积分为：

\(\frac{3h}{8}[f(a) + 3f(b) + 3f(c) + f(d)]\)

注意，这个规则需要四个点，所以我们不能直接应用到这个问题中，因为我们只有三个点。所以在这种情况下，我们不能使用Simpson的3/8规则。