线性化模型

\[\begin{array}{c|c c c c c c}\hline x_i&1.00&1.25&1.50&1.75&2.00\\ \hline y_i&5.10&5.79&6.53&7.45&8.46\\ \hline\end{array} \]

线性化模型 \(y = a*e^{bx}\)，其中a > 0，并利用以上数据估计a和b。要线性化此模型，我们可以对两边应用自然对数，这样我们会得到\(ln(y) = ln(a) + bx\)。

这样我们就有了一个线性模型，其中 ln(a) 是截距，b 是斜率，x 是自变量，ln(y) 是因变量。

首先，我们需要将给定的 \(y_{i}\) 值取对数，得到 \(ln(y_{i})\)：

\[\begin{array}{c|c c c c c c}\hline x_i&1.00&1.25&1.50&1.75&2.00\\ \hline y_i&5.10&5.79&6.53&7.45&8.46\\ \hline ln(y_i)&1.63&1.76&1.88&2.01&2.13\\ \hline \end{array} \]

接下来，我们可以使用最小二乘法来估计参数 \(b\) 和 \(ln(a)\)。在这个线性模型中，\(ln(a)\) 是 y-轴截距，b 是斜率。

计算 b 的公式是：

\(b = (NΣxy - ΣxΣy) / (NΣx^2 - (Σx)^2)\)

计算 ln(a) 的公式是：

\(ln(a) = (Σy - bΣx) / N\)

其中：

• Σ 表示求和，
• N 是数据点的数量，
• x 是给定的 x 值，
• y 是 ln(y_i) 的值。

根据上述公式和给定的数据，我们可以计算出参数 b 和 ln(a) 的值，然后对 ln(a) 取自然对数的反函数，得到 a 的值。