浅谈莫比乌斯反演的常见套路

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整理一下,不然再过三天就又忘了。

莫比乌斯反演的套路

emmm,因为我做过的题太少了,所以可能非常不全。

以下的式子都是用\(\sum_{d \ | n} \mu(d) = [n = 1]\)推出来的,想看"正规"形式的可以参考这里

如果不做特殊说明的话,\(\frac{n}{k}\)默认为下取整,保证\(n < m\)

\(\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m gcd(i, j) = k\)

这类应该是最基础的问题

\begin{aligned}
&\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m gcd(i, j) = k \
&\sum_{i = 1}^{\frac{n}{k}} \sum_{j = 1}^{\frac{m}{k}} [gcd(i, j)]\
&\sum_{i = 1}^{\frac{n}{k}} \sum_{j = 1}^{\frac{m}{k}} \sum_{d  | gcd(i, j)} \mu(d)\
&\sum_{i = 1}^{\frac{n}{k}} \sum_{j = 1}^{\frac{m}{k}} \sum_{d  | i} \sum_{d  | j}\mu(d)\
&\sum_{d = 1}^n \mu(d) \sum_{i = 1}^{\frac{n}{k}} \sum_{d  | i} \sum_{j = 1}^{\frac{m}{k}}\sum_{d  | j} 1\
&\sum_{d = 1}^n \mu(d) \frac{n}{kd} \frac{m}{kd}\
\end{aligned}

然后直接对后面的数论分块就行了

题目

BZOJ1101: [POI2007]Zap

\(\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m gcd(i, j)\)

按照套路,枚举\(gcd\)

\begin{aligned}
&\sum_{d = 1}^n \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m gcd(i, j) = d \
&\text{后面的一坨直接按照第一种套路推,最终会得到}\
&\sum_{d = 1}^n \sum_{k=1}^n \mu(k) \frac{n}{kd} \frac{m}{kd}\
&\text{设\(T = kd\)}\
&\sum_{T = 1}^n \frac{n}{T} \frac{m}{T} \sum_{d  | T} d \mu(\frac{T}{d})
\end{aligned}

设$g(T) = \sum_{d  | T} d \mu(\frac{T}{d}) $

不难发现这是个严格的狄利克雷卷积的形式,那么显然\(g\)也是个积性函数,我们可以直接线性筛预处理后面的部分,数论分块搞前面的。总的复杂度就是\(O(n + T\sqrt{n})\)

拓展

这里题目最常见的拓展就是在\(gcd(i, j)\)外面再套一个函数,处理的策略都是一样的,化到最后得到的基本也都是积性函数,如果不是就暴力筛,是的话线性筛。至于怎么线性筛积性函数可以看这里

题目

BZOJ4407: 于神之怒加强版

BZOJ4804: 欧拉心算

\(\prod_{i = 1}^n \prod_{j = 1}^m gcd(i, j)\)

\begin{aligned}
&\prod_{d = 1}^n d^{{\sum_{i = 1}^n \sum_{j=1}^m} gcd(i, j) = d}\
&\text{然后按照上面的套路推,可以得到下面的式子}\
&\prod_{d = 1}^n d^{\sum_{k=1}^{\frac{n}{d}} \mu(k) \frac{n}{kd}\frac{m}{kd}}\
&\text{设\(T= kd\),枚举\(T\)}\
&\prod_{T = 1}^n (\prod_{d  | T} d^{\mu(\frac{T}{d})})^{\frac{n}{T} \frac{m}{T}}\
\end{aligned}

\(g(T) = \prod_{d \ | T} d^{\mu(\frac{T}{d})}\)

到了这里就有必要好好说说了,按照常规的套路反演出的\(g(T)\)应该是个积性函数,然而这里并不是,但是暴力打表之后可以发现一些规律

\(T\)为质数的幂时, 设\(T = p^q\),那么\(g(T) = p\),除此之外\(g(T) = 1\)

那么直接枚举质数的幂次更新\(g\),由于质数的密度大概是\(\frac{n}{\ln n}\),而且每个质数的枚举上界为\(\log n\)那么总复杂度为\(O(\frac{n}{ln n}) \log n = O(n)\)

拓展

这种形式同样有许多的拓展,最常见的也是在\(gcd\)的那里再套上个什么函数

比如,[SDOI2017]数字表格就是要求

\[\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m f(gcd(i, j))\]

其中\(f(i)\)表示第\(i\)个斐波那契数

这种题就按照套路推,推到最后一步,如果发现\(g(T)\)不能快速计算就直接暴力枚举因子,不然就xjb找规律。。

小结

莫比乌斯反演的一大特点就是套路性强,但是很多题还是相当有难度的,比如把某个问题转成反演反演转图论。像我这种菜鸡肯定是这辈子都做不出来的qwq

参考资料

山东2017夏令营丁明朔讲课

posted @ 2018-12-10 19:58 自为风月马前卒 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

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