狄利克雷卷积

数论函数

陪域：包含值域的任意集合

数论函数：定义域为正整数，陪域为复数的函数

积性函数：对于函数$f(n)$，若存在任意互质的数$a,b$，使得$a*b=n$,并且$f(n)=f(a)*f(b)$，那么函数$f(n)$被称为积性函数

常见积性函数：

$1(i)=1$

$f(i)=i$

$\varphi \left( i\right)$(欧拉函数)

$\mu \left( i\right)$(莫比乌斯函数)

拓展：完全积性函数：对于函数$f(n)$，若存在任意数$a,b$(这里取消掉了互质的限制)，使得$a*b=n$,并且$f(n)=f(a)*f(b)$，那么函数$f(n)$被称为完全积性函数

狄利克雷卷积

定义函数$f,g$为数论函数

则他们的狄利克雷卷积可以表示为:$f*g$,

设$h=f*g$

$$h\left( n\right) =\sum _{d|n}f\left( d\right) g\left( \dfrac {n}{d}\right)$$

显然,$h$也是积性函数

证明：

设$n=a*b$，且$gcd(a, b) = 1$

$$h(n)=\sum_{d_1|a,d_2|b}f(d_1d_2)g(\dfrac {a}{d_1}\dfrac {b}{d_2})$$

$$=\sum_{d_1|a,d_2|b}f(d_1)f(d_2)g(\dfrac {a}{d_1})g(\dfrac {b}{d_2})$$

$$=\sum_{d_1|a}f(d_1)g(\dfrac {a}{d_1})\sum_{d_2|b}f(d_2)g(\dfrac {b}{d_2})$$

$$=h(a)*h(b)$$

运算法则

交换律：$f * g = g * f$

结合律：$(f * g) * h = f * (g * h)$

分配率：$f * (g + h) = f * g + f * h = (g + h) * f$

如果$f, g$为积性函数，那么$f * g$也是积性函数

注意最后一点非常重要！！