elliptic curves in the affine plane

我们讨论在仿射平面上的椭圆函数。

 

 

 

 需要注意的点是：定义curve的多项式不仅需要在该域上是无重根的，还需要在任何代数闭包上是无重根的，在特征是p的非perfect的域上有反例。

 

 给定curve上的一个点，一个重要的技巧是，我们可以把原来的多项式改写为：

 

 那如果取的点是singular的呢？

 

 

 

 

 

 

射影仿射面：

熟知的关系：

 

 

 

 

 

 我们利用这个覆盖定义射影曲线的重数，切线......

 

 

 

Rational Points on Plane Curves 

 

 

 

 

 我们把R视作是P=\inf的情况，于是我们把一个Q上的多项式在Q里的根的问题转化到局部域上去：

 

 

 我们可以把定理加强到任意的变量和任意域上去（by Hasse-Minkowski theorem) 

 

 

二次curves上的有理点实际上非常好被确定：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

genus>1的curves：

 

 首先是定义射影平面曲线的几何亏格：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

于是乎我们用Riemann-Roch定理证明了C(k)有一个群的结构：