Preknowledge & The local-global principle for conics

双有理等价：

考虑一个例子：

 

 

 

 

We define "birational equivalent of elliptic curves'' more precisely,

 

 

 

 

在复数域上我们有结论：genus为0的elliptic curve有理等价为一条直线，但在有理数域上，我们只能有：genus为0的elliptic curve有理等价为一条直线或者二次曲线

 

于是我们考虑genus为0的二次曲线

 

 

 

 有了此定理，我们便可以着力研究什么时候一条有理数域上的二次椭圆曲线有一个有理点。

 

p-adic number:

valuation:

 

 

 在Q上定义p-adic valuation，三角不等式加强为版本：

 

 我们接着考考虑p-adic的完备化：

 

 

 

 p-adic 的性质

 

 基本的分析性质在次metric下更加简便：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

The local-global principle for conics

 

我们首先规范给定的二次椭圆曲线：

 

 

 

 

 

一些有用的记号：