Godement 《Theorie des faisceaux》前两章

Godement的定义中，section是可以定义在任意集合上的：这就产生了一个问题，关于层的第二要求，如果我们都定义在开集上是可以保证连续性的。但如果一般集合，第二要求不一定能满足。我们有一个弱化的定理：

 

 

Godement定义sheaf间的homomorphism的时候我看不懂，因为他考虑给定sheaf做正向极限后的那个etale space，但显然和原space是同构的，所以不是很明白到底什么意思。

有了sheaf间的homorphism后我们可以由两个已知的sheafs定义出新的sheafs：

 

 

拓扑空间的连续映射逆像诱导的sheaf有pull-back的unversal property，我们实际上可以根据universal property来构造（Godement不是如此做的）：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 交换代数的例子：

 

 

 

 

 X中的A是局部紧子空间等价于，对于任意X上abel群中的sheaf L，存在另一个sheaf，其在A上的限制同构于L|A，在X\A上等于0。

事实上前者成立时，决定的后者是唯一的：

 

 

 

证明的过程全然是拓扑的验证。从espaces étalés角度看，我们把A上的section延拓到全部上，但如果A是X中开集，那这样的延拓与拓扑不是compatible的。

 

如果A是X中的开集：

 

 考虑两个局部闭子空间：

 

 我们得到一个同构和一个functor：

 

 

我们可以得到定理2.9.1的强化版本：

 

 

一个有用的同构：

 

 这一性质又可以得出另一个推论：

X上的sheaf可以写作是类似Zu样子的sheaf的直和的quotient：

 松软层：在fibre是离散拓扑的时候（比如是），我们总是可以把任意层通过Godement化嵌入一个松软层