2014-Constrained-Delaunay-Triangulation
JTS 中的约束 Delaunay 三角剖分
原文：基于 JTS 文档和 Lin.ear th.inking 博客内容
作者：Martin Davis
日期：约 2014年
概述
Delaunay 三角剖分是计算几何中的基础算法，而约束 Delaunay 三角剖分（Constrained Delaunay Triangulation, CDT）允许在三角剖分中强制包含特定的边。JTS 提供了完整的三角剖分支持，本文介绍其原理和使用方法。
什么是 Delaunay 三角剖分？
基本概念
Delaunay 三角剖分是一种特殊的三角剖分方式，具有以下性质：
- 空圆性质：任何三角形的外接圆内不包含其他点
- 最大化最小角：在所有可能的三角剖分中，Delaunay 三角剖分最大化了最小角
- 唯一性：对于一般位置的点集，Delaunay 三角剖分是唯一的
普通三角剖分 Delaunay 三角剖分
*-------* *-------*
|\ | | \ |
| \ | | \ |
| \ | | \ |
* \ | → *-----\ |
| \ | | \|
| \ | | *
| \| | /
*-------* *-----*
（角度较小） （角度较大）
为什么 Delaunay 很重要？
- 避免狭长三角形：产生更"好看"的三角形
- 数值稳定：在有限元分析中更加稳定
- 与 Voronoi 图对偶：Delaunay 三角剖分是 Voronoi 图的对偶
约束 Delaunay 三角剖分
什么是约束？
在某些应用中，我们需要三角剖分包含特定的边（约束边）：
- 多边形的边界
- 道路或河流的中心线
- 地形特征线
无约束 有约束（必须包含AB边）
A -------- B A -------- B
| \ / | | /|
| \ / | → | / |
| \/ | | / |
| /\ | | / |
| / \ | | / |
| / \ | | / |
*---------* *---/------*
JTS 中的实现
import org.locationtech.jts.geom.*;
import org.locationtech.jts.triangulate.polygon.ConstrainedDelaunayTriangulator;
public class CDTExample {
public static void main(String[] args) {
GeometryFactory factory = new GeometryFactory();
// 创建一个简单多边形
Coordinate[] coords = new Coordinate[] {
new Coordinate(0, 0),
new Coordinate(10, 0),
new Coordinate(10, 10),
new Coordinate(0, 10),
new Coordinate(0, 0)
};
Polygon polygon = factory.createPolygon(coords);
// 执行约束 Delaunay 三角剖分
Geometry triangulation = ConstrainedDelaunayTriangulator.triangulate(polygon);
System.out.println("三角剖分结果：");
System.out.println(triangulation);
}
}
三角剖分多边形
简单多边形三角剖分
import org.locationtech.jts.triangulate.polygon.PolygonTriangulator;
public class PolygonTriangulationExample {
public static Geometry triangulatePolygon(Polygon polygon) {
return PolygonTriangulator.triangulate(polygon);
}
public static void main(String[] args) {
GeometryFactory factory = new GeometryFactory();
WKTReader reader = new WKTReader(factory);
// 创建一个L形多边形
Polygon lShape = (Polygon) reader.read(
"POLYGON ((0 0, 10 0, 10 5, 5 5, 5 10, 0 10, 0 0))");
Geometry triangles = triangulatePolygon(lShape);
// 输出三角形数量
System.out.println("三角形数量: " + triangles.getNumGeometries());
// 输出每个三角形
for (int i = 0; i < triangles.getNumGeometries(); i++) {
System.out.println("三角形 " + (i+1) + ": " + triangles.getGeometryN(i));
}
}
}
带孔洞的多边形
public class PolygonWithHoleTriangulation {
public static void main(String[] args) throws Exception {
GeometryFactory factory = new GeometryFactory();
WKTReader reader = new WKTReader(factory);
// 带孔洞的多边形
Polygon polygonWithHole = (Polygon) reader.read(
"POLYGON ((0 0, 20 0, 20 20, 0 20, 0 0), " +
"(5 5, 15 5, 15 15, 5 15, 5 5))");
Geometry triangles = ConstrainedDelaunayTriangulator.triangulate(polygonWithHole);
System.out.println("三角形数量: " + triangles.getNumGeometries());
// 验证：所有三角形的并集应该等于原多边形
Geometry union = triangles.union();
System.out.println("并集面积: " + union.getArea());
System.out.println("原多边形面积: " + polygonWithHole.getArea());
}
}
Voronoi 图
Voronoi 图与 Delaunay 的关系
Voronoi 图是 Delaunay 三角剖分的对偶：
Delaunay 三角剖分 Voronoi 图
* +---+---+
/|\ | | |
/ | \ | + |
/ | \ +---+---+
*---+---* | | |
\ | / | + |
\ | / +---+---+
*
三角形顶点 ↔ Voronoi 单元
三角形边 ↔ Voronoi 边
JTS 中的 Voronoi 图
import org.locationtech.jts.triangulate.VoronoiDiagramBuilder;
public class VoronoiExample {
public static void main(String[] args) {
GeometryFactory factory = new GeometryFactory();
// 创建点集
Coordinate[] points = new Coordinate[] {
new Coordinate(0, 0),
new Coordinate(10, 0),
new Coordinate(5, 10),
new Coordinate(2, 5),
new Coordinate(8, 5)
};
MultiPoint multiPoint = factory.createMultiPointFromCoords(points);
// 创建 Voronoi 图
VoronoiDiagramBuilder builder = new VoronoiDiagramBuilder();
builder.setSites(multiPoint);
Geometry voronoi = builder.getDiagram(factory);
System.out.println("Voronoi 图：");
System.out.println(voronoi);
}
}
应用场景
1. 有限元网格生成
三角剖分是有限元分析的基础：
public class FEMMeshGenerator {
/**
* 生成有限元网格
*/
public static Geometry generateMesh(Polygon domain, double maxTriangleArea) {
// 使用约束 Delaunay 三角剖分
Geometry mesh = ConstrainedDelaunayTriangulator.triangulate(domain);
// 可以进一步细化网格
// 直到所有三角形面积小于 maxTriangleArea
return mesh;
}
}
2. 地形建模
从高程点创建 TIN（不规则三角网）：
public class TINBuilder {
/**
* 从高程点构建 TIN
*/
public static Geometry buildTIN(List<Coordinate> elevationPoints) {
GeometryFactory factory = new GeometryFactory();
CoordinateList coords = new CoordinateList();
for (Coordinate c : elevationPoints) {
coords.add(c);
}
DelaunayTriangulationBuilder builder = new DelaunayTriangulationBuilder();
builder.setSites(coords);
return builder.getTriangles(factory);
}
}
3. 最近邻搜索
利用 Voronoi 图进行最近邻查询：
public class NearestNeighborSearch {
private GeometryCollection voronoiCells;
private List<Point> originalPoints;
/**
* 使用 Voronoi 图找最近邻
*/
public Point findNearest(Point query) {
for (int i = 0; i < voronoiCells.getNumGeometries(); i++) {
Geometry cell = voronoiCells.getGeometryN(i);
if (cell.contains(query)) {
return originalPoints.get(i);
}
}
return null;
}
}
性能考虑
时间复杂度
| 操作 | 时间复杂度 |
|---|---|
| Delaunay 三角剖分（增量） | O(n log n) |
| Delaunay 三角剖分（分治） | O(n log n) |
| Voronoi 图 | O(n log n) |
| 简单多边形三角剖分 | O(n log n) |
内存使用
三角剖分的空间复杂度为 O(n)，其中 n 是输入点的数量。
总结
JTS 提供了完整的三角剖分功能：
- Delaunay 三角剖分：从点集生成最优三角剖分
- 约束 Delaunay 三角剖分：支持强制边
- 多边形三角剖分：将多边形分解为三角形
- Voronoi 图：Delaunay 的对偶结构
这些功能在地形建模、有限元分析、空间索引等领域有广泛应用。
浙公网安备 33010602011771号