CodeForces 1924C Fractal Origami

洛谷传送门

CF 传送门

对这种题一点办法都没有。。。

可以手动折叠发现 \(n = 3\) 时 \(M = 2 + 2 \sqrt{2}, V = 2 + 4 \sqrt{2}\)。于是大胆猜结论，第二次折叠开始，每次产生的山谷和山峰的长度相等。

为什么呢？考虑从第二次折叠开始，设当前纸的层数为 \(k\)（事实上若当前是第 \(i\) 次折叠，\(k = 2^{i - 1}\)）。则奇数层的纸展开后是山谷，偶数层的纸展开后是山峰。所以 \(V = M + 2 \sqrt{2}\) 恒成立。

这意味着我们只用计算 \(n\) 次折叠后的总折痕长度 \(V + M\)，就能算出 \(M\) 和 \(V\) 的值。考虑每次折叠，纸的每一层的折痕长度为上一次折叠时 \(\times \frac{1}{\sqrt{2}}\)，但是纸的层数为上一次折叠时 \(\times 2\)。所以每次折叠，总折痕长度为上一次的 \(\sqrt{2}\) 倍。于是 \(M = \sum\limits_{i = 0}^{n - 2} 2 \sqrt{2}^i, V = 2 \sqrt{2} + \sum\limits_{i = 0}^{n - 2} 2 \sqrt{2}^i\)。

至此直接套用等比数列求和公式 \(s = \frac{a (1 - q^n)}{1 - q}\) 即可出答案。由于需要快速幂，时间复杂度为 \(O(\sum \log n)\)。

实现时封装一个 \(a + b \sqrt{2}\) 的类会好写很多。

code

// Problem: C. Fractal Origami
// Contest: Codeforces - Codeforces Round 921 (Div. 1)
// URL: https://codeforces.com/contest/1924/problem/C
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define pb emplace_back
#define fst first
#define scd second
#define mkp make_pair
#define mems(a, x) memset((a), (x), sizeof(a))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;

const ll mod = 999999893;

inline ll qpow(ll b, ll p) {
	ll res = 1;
	while (p) {
		if (p & 1) {
			res = res * b % mod;
		}
		b = b * b % mod;
		p >>= 1;
	}
	return res;
}

ll n;

struct node {
	ll a, b;
	node(ll x = 0, ll y = 0) : a(x), b(y) {}
};

inline node operator + (const node &a, const node &b) {
	return node((a.a + b.a) % mod, (a.b + b.b) % mod);
}

inline node operator - (const node &a, const node &b) {
	return node((a.a - b.a + mod) % mod, (a.b - b.b + mod) % mod);
}

inline node operator * (const node &a, const node &b) {
	return node((a.a * b.a + a.b * b.b * 2) % mod, (a.a * b.b + a.b * b.a) % mod);
}

inline node operator / (const node &x, const node &y) {
	ll a = x.a, b = x.b, c = y.a, d = y.b;
	return node((a * c - b * d * 2 % mod + mod) % mod * qpow((c * c - d * d * 2 % mod + mod) % mod, mod - 2) % mod, (b * c - a * d % mod + mod) % mod * qpow((c * c - d * d * 2 % mod + mod) % mod, mod - 2) % mod);
}

inline node qpow(node b, ll p) {
	node res(1, 0);
	while (p) {
		if (p & 1) {
			res = res * b;
		}
		b = b * b;
		p >>= 1;
	}
	return res;
}

void solve() {
	scanf("%lld", &n);
	node a = node(1, 0) - qpow(node(0, 1), n - 1), b = node(1, 0) - node(0, 1);
	node x = a * node(2, 0) / b;
	node y = x + node(0, 2);
	node res = x / y;
	printf("%lld\n", res.b);
}

int main() {
	int T = 1;
	scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}