CodeForces 1924D Balanced Subsequences

洛谷传送门

CF 传送门

发现去掉匹配的 \(2k\) 个括号后，剩下的串一定形如 \()) \ldots )(( \ldots (\)，其中右括号数量为 \(a = m - k\)，左括号数量为 \(b = n - k\)。

考虑把剩下的串像 \()) \ldots ) \mid (( \ldots (\) 一样分成两半。枚举左半边加入了 \(\frac{i}{2}\) 对匹配，则长度为 \(a + i\)，右半边长度为 \(b + 2k - i\)。根据乘法原理把两半的方案数相乘即可。下面只讨论左半边的计算，右半边类似。

考虑折线图。相当于每一步可以向右上或右下走，求 \((0, 0) \to (a + i, -a)\) 且不接触直线 \(y = -a - 1\) 的方案数。这是经典问题。考虑容斥，总方案数 \(\binom{a + i}{a + \frac{i}{2}}\) 减去接触的方案数。把折线与 \(y = -a - 1\) 最后一个交点之前的部分对称过去，相当于 \((0, -2a - 2) \to (a + i, -a)\)。可以解得需要向右上走 \(a + \frac{i}{2} + 1\) 步，所以接触的方案数就是 \(\binom{a + i}{a + \frac{i}{2} + 1}\)。

注意为了避免算重，我们钦定左半边到达 \((a + i, -a)\) 是最后一次接触直线 \(y = -a\)。也就是说右半边除了第一步外不能接触直线 \(y = -a\)。钦定第一步向右上走后也可以类似地计算。

时间复杂度 \(O(\sum n + m + k)\)。

code

// Problem: D. Balanced Subsequences
// Contest: Codeforces - Codeforces Round 921 (Div. 1)
// URL: https://codeforces.com/contest/1924/problem/D
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define pb emplace_back
#define fst first
#define scd second
#define mkp make_pair
#define mems(a, x) memset((a), (x), sizeof(a))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;

const int maxn = 4020;
const int N = 4000;
const ll mod = 1000000007;

inline ll qpow(ll b, ll p) {
	ll res = 1;
	while (p) {
		if (p & 1) {
			res = res * b % mod;
		}
		b = b * b % mod;
		p >>= 1;
	}
	return res;
}

ll n, m, K, fac[maxn], ifac[maxn];

inline void init() {
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= N; ++i) {
		fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
	}
	ifac[N] = qpow(fac[N], mod - 2);
	for (int i = N - 1; ~i; --i) {
		ifac[i] = ifac[i + 1] * (i + 1) % mod;
	}
}

inline ll C(ll n, ll m) {
	if (n < m || n < 0 || m < 0) {
		return 0;
	} else {
		return fac[n] * ifac[m] % mod * ifac[n - m] % mod;
	}
}

void solve() {
	scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &K);
	if (K > n || K > m) {
		puts("0");
		return;
	}
	ll a = m - K, b = n - K, ans = 0;
	for (int i = 0; i <= K * 2; i += 2) {
		ll la = a + i, lb = b + K * 2 - i;
		ll x = (C(la, i / 2) - C(la, i / 2 - 1) + mod) % mod;
		if (b + K - i / 2 == 0) {
			ans = (ans + x) % mod;
			continue;
		}
		if (b == 0) {
			continue;
		}
		ll y = (C(lb - 1, K - i / 2) - C(lb - 1, K - i / 2 - 1) + mod) % mod;
		ans = (ans + x * y) % mod;
	}
	printf("%lld\n", ans);
}

int main() {
	init();
	int T = 1;
	scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}