AtCoder Regular Contest 170 D Triangle Card Game

洛谷传送门

AtCoder 传送门

赛后调了 40min，哈哈。

首先先把 \(a, b\) 排序。

考虑先枚举 Alice 选的数 \(a_i\)，然后若 \(\forall j, \exists k \ne i, (a_i, b_j, a_k)\) 能组成三角形，Alice 就赢了。

考虑简化条件。\((x, y, z)\) 能形成三角形的充要条件是 \(z \in (|x - y|, x + y)\)。那么条件变为 \(\forall j, \exists k \ne i, a_k \in (|b_j - a_i|, b_j + a_i)\)。

看到有个绝对值，考虑分类讨论。若 \(b_j \le a_i\)，那么 \(a_k \in (a_i - b_j, a_i + b_j)\)。可以发现 \(b_j\) 越小这个范围越窄。所以只用判断 \(b_j\) 最小，即 \(j = 1\) 的情况。这个可以维护一个 multiset，然后 upper_bound 找大于 \(a_i - b_1\) 的最小数判断。

考虑 \(b_j > a_i\)。考虑对每个 \(i\) 求出一个分界点 \(p_i\) 使得 \(b_{p_i}\) 为第一个大于 \(a_i\) 的数。那么条件变为 \(\forall j \ge p_i, \exists k \ne i, a_k \in (b_j - a_i, b_j + a_i)\)。

变形一下可得 \(b_j \in (a_k - a_i, a_k + a_i)\)。

这个条件就比较有意思了。可以把它看成是一个中点为 \(a_k\)，长度为 \(2a_i\) 的线段。考虑把所有 \(a, b\) 排列在数轴上，设 \(b_j\) 夹在 \(a_x, a_{x + 1}\) 之间。那么当 \(a_i \le t = \min(b_j - a_x, a_{x + 1} - b_j)\) 时，\(b_j\) 是不能被覆盖的。所以对于一个 \(i\)，若 \(i \le q_j\) 且 \(j \ge p_i\)，\(i\) 就不满足条件，就不能让 Alice 赢。这是一个二维偏序的形式，考虑第一维扫描线，第二维树状数组维护即可。

然后你写出来这个东西发现被这个 case 卡掉了：

1
2
3 8
4 4

答案是 Bob，而你输出了 Alice。原因是我们没有考虑 Alice 不能选重复的数的情况。考虑若 \(q_j = x\) 就会出现选重复数的情况，若 \(a_{x + 1}\) 不能用长度为 \(2a_x\) 的线段覆盖到 \(b_j\)，即 \(a_x + b_i \le a_{x + 1}\)，就让 \(q_j \gets q_j + 1\)。

总时间复杂度为 \(O(n \log n)\)。

code

#include <bits/stdc++.h>
#define pb emplace_back
#define fst first
#define scd second
#define mkp make_pair
#define mems(a, x) memset((a), (x), sizeof(a))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;

const int maxn = 200100;

ll n, a[maxn], b[maxn];
vector<int> vc[maxn];

namespace BIT {
	int c[maxn];
	
	inline void init() {
		for (int i = 0; i <= n; ++i) {
			c[i] = 0;
		}
	}
	
	inline void update(int x, int d) {
		for (int i = x; i; i -= (i & (-i))) {
			c[i] += d;
		}
	}
	
	inline int query(int x) {
		int res = 0;
		for (int i = x; i <= n; i += (i & (-i))) {
			res += c[i];
		}
		return res;
	}
}

void solve() {
	scanf("%lld", &n);
	multiset<ll> S;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%lld", &a[i]);
		S.insert(a[i]);
		vector<int>().swap(vc[i]);
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%lld", &b[i]);
	}
	sort(a + 1, a + n + 1);
	sort(b + 1, b + n + 1);
	int m = unique(b + 1, b + n + 1) - b - 1;
	BIT::init();
	a[n + 1] = 1e18;
	a[0] = -1e18;
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		int p = lower_bound(a + 1, a + n + 1, b[i]) - a;
		ll t = min(a[p] - b[i], b[i] - a[p - 1]);
		int q = upper_bound(a + 1, a + n + 1, t) - a;
		if (q + 1 == p && a[q] + b[i] <= a[q + 1]) {
			++q;
		}
		if (q <= n) {
			// printf("%d %d\n", q, i);
			// printf("t: %lld %d %lld %lld\n", t, p, a[p - 1], b[i]);
			vc[q].pb(i);
		}
		BIT::update(i, 1);
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (int j : vc[i]) {
			BIT::update(j, -1);
		}
		S.erase(S.find(a[i]));
		int p = upper_bound(b + 1, b + m + 1, a[i]) - b;
		auto it = S.upper_bound(abs(a[i] - b[1]));
		if ((a[i] < b[1] || it != S.end() && *it < a[i] + b[1]) && !BIT::query(p)) {
			// printf("i: %d\n", i);
			puts("Alice");
			return;
		}
		S.insert(a[i]);
	}
	puts("Bob");
}

int main() {
	// freopen("D.in", "r", stdin);
	// freopen("my.out", "w", stdout);
	int T = 1;
	scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}