AtCoder Beginner Contest 218 H Red and Blue Lamps

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wqs 二分。

设 \(h(x)\) 为，恰好选 \(x\) 个的价值最大值。发现 \((x, h(x))\) 形成一个上凸包，考虑 wqs 二分。

二分斜率，去截这个凸包，\(y\) 轴上截距为 \(h(x) - kx\)，于是选一个红点代价是 \(k\)。

做一个 dp，\(f_{i, 0/1}\) 表示前 \(i\) 个点，第 \(i\) 个点染 \(0\) 蓝 \(1\) 红的最大价值。

再记一个 \(g_{i, 0/1}\) 表示最大价值的前提下最少选几个红点，因为有的点可能共线，我们想求出最接近的但是又不超过 \(m\) 的点。

记这个东西的作用是，我们可以知道截的是第几个点。

然后，如果截的点编号 \(\le m\)，就计入答案，并且减小斜率；否则增大斜率。这一点由上凸包的性质可知。

然后就做完了。时间复杂度 \(O(n \log V)\)。有略优的 \(O(n \log n)\) 反悔贪心。

code

// Problem: H - Red and Blue Lamps
// Contest: AtCoder - AtCoder Beginner Contest 218
// URL: https://atcoder.jp/contests/abc218/tasks/abc218_h
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define pb emplace_back
#define fst first
#define scd second
#define mems(a, x) memset((a), (x), sizeof(a))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;

const int maxn = 200100;
const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;

ll n, m, a[maxn], f[maxn][2], g[maxn][2];

inline pii calc(ll x) {
	f[1][0] = 0;
	f[1][1] = -x;
	g[1][0] = 0;
	g[1][1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++i) {
		for (int j = 0; j <= 1; ++j) {
			f[i][j] = -inf;
			for (int k = 0; k <= 1; ++k) {
				ll val = f[i - 1][k] + ((j ^ k) ? a[i - 1] : 0) - (j ? x : 0);
				if (val > f[i][j]) {
					f[i][j] = val;
					g[i][j] = g[i - 1][k] + j;
				} else if (val == f[i][j]) {
					g[i][j] = min(g[i][j], g[i - 1][k] + j);
				}
			}
		}
	}
	ll mx = -inf, cnt = 0;
	for (int i = 0; i <= 1; ++i) {
		if (f[n][i] > mx) {
			mx = f[n][i];
			cnt = g[n][i];
		} else if (f[n][i] == mx) {
			cnt = min(cnt, g[n][i]);
		}
	}
	return make_pair(mx, cnt);
}

void solve() {
	scanf("%lld%lld", &n, &m);
	for (int i = 1; i < n; ++i) {
		scanf("%lld", &a[i]);
	}
	ll l = -2e9, r = 2e9, ans = -1;
	while (l <= r) {
		ll mid = (l + r) >> 1;
		pii p = calc(mid);
		// printf("%lld %lld %lld\n", mid, p.fst, p.scd);
		if (p.scd <= m) {
			ans = p.fst + m * mid;
			r = mid - 1;
		} else {
			l = mid + 1;
		}
	}
	printf("%lld\n", ans);
}

int main() {
	int T = 1;
	// scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}