洛谷 P6819 PA2012 Binary Dodgeball

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一道非常 educational 的题。

考虑移除两个一样的棋子和不移没有本质区别，可以发现若记 \(\operatorname{lowbit}(x) = 2^k\)，则 \(x\) 的 sg 值为 \(k\)。

考虑 \(n\) 的答案即为 \(\oplus_i (\left\lfloor{\frac{n}{2^i}}\right\rfloor - \left\lfloor{\frac{n}{2^{i+1}}}\right\rfloor)i\)，发现只与 \(\left\lfloor{\frac{n}{2^i}}\right\rfloor - \left\lfloor{\frac{n}{2^{i+1}}}\right\rfloor\) 的奇偶性有关，这个东西模 \(2\) 在二进制上的意义相当于第 \(i\) 位是否等于第 \(i+1\) 位。

据此随便做一个数位 \(dp\) 即可。时间复杂度 \(O(\log^3 n)\)，随便过。

code

// Problem: P6819 [PA2012]Binary Dodgeball
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P6819
// Memory Limit: 128 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define pb emplace_back
#define fst first
#define scd second
#define mems(a, x) memset((a), (x), sizeof(a))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;

const int maxn = 70;

ll f[maxn][2][maxn][2], a[maxn];

ll dfs(int pos, bool limit, int sum, int lst) {
	if (pos == -1) {
		return (sum == 0);
	}
	if (f[pos][limit][sum][lst] != -1) {
		return f[pos][limit][sum][lst];
	}
	ll ans = 0, up = (limit ? a[pos] : 1);
	for (int i = 0; i <= up; ++i) {
		ans += dfs(pos - 1, limit & (i == up), sum ^ ((i != lst) * pos), i);
	}
	return f[pos][limit][sum][lst] = ans;
}

ll calc(ll x) {
	mems(f, -1);
	int tot = -1;
	while (x) {
		a[++tot] = (x & 1);
		x >>= 1;
	}
	return dfs(tot, 1, 0, 0) - 1;
}

void solve() {
	int k;
	scanf("%d", &k);
	ll l = 1, r = 1e11, ans = -1;
	while (l <= r) {
		ll mid = (l + r) >> 1;
		if (calc(mid) >= k) {
			ans = mid;
			r = mid - 1;
		} else {
			l = mid + 1;
		}
	}
	printf("%lld\n", ans);
}

int main() {
	int T = 1;
	// scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}