随笔分类 - dp
摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门 感觉挺高妙的…… 为了方便，不妨把横纵坐标都整体减 $1$。 如果单独考虑上下移动，方案数是 $\binom{2n}{n}$。发现两个人上下总共移动 $n$ 次后一定会在同一行，设这行编号为 $x$，那么最后带个 $\binom{n}{x}^2$ 的系数，并且除掉
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摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门 设 $P$ 的原根为 $g$，那么 $x,y$ 可以表示成 $g^a, g^b$ 的形式（特判 $x = y = 0$）。那么要求 $an \equiv b \pmod {P - 1}$，其中 $a,b \in [1, P - 1]$。 考虑固定 $a$，可以把问
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摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门 显然的策略：选择全部 $0$ 段变成 $1$，或选择全部 $1$ 段变成 $0$。 归纳可得一般性的结论：设字符串中 $s_i \ne s_{i+1}$ 的位置数为 $k$，答案为 $\left\lceil\frac{k}{2}\right\rceil$。 因为在
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摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门 考虑分类计数，讨论“没有 DD”、“有 DD 无 o”、“有 DDo 无 S”三种情况。 没有 DD，枚举有几种大写字母出现过； 剩下两种情况，考虑设 $f_{i,0/1}$ 分别表示两种情况的方案数。$f_{i,0}$ 可以从 $f_{i-1,0}$ 填大写字母
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摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门 设 $f_{u,0/1}$ 为 $u$ 的子树，$u$ 是否在匹配内的最大匹配数。 注意到对于一个匹配，在它深度较浅的点上才会被计入答案。 转移大概是 $f_{u,0}$ 取 $\sum\limits_{v \in son_u} \max(f_{v,0}, f_{
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摘要：[洛谷传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc207_f "洛谷传送门") [AtCoder 传送门](https://atcoder.jp/contests/abc207/tasks/abc207_f "AtCoder 传送门") 简单树形 dp。
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摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门 设 $f_{i,j}$ 为从第 $1$ 行到 $(i + 1, j)$ 的最短路。 因为我们并不关心最后到达的是哪一个格子，于是强制 $f_{i,j}$ 为必须从 $(i, j)$ 往下走一格到 $(i + 1, j)$ 的最短路。 有转移： $$f_{i,r+1
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摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门 不妨钦定组之间的顺序是最小值越小的组越靠前，这样可以给每个组按顺序编号。 设 $f_{i,j}$ 为考虑了模 $m$ 后 $< i$ 的数，目前有 $j$ 个非空组的方案数。 转移就是枚举模 $m = i - 1$ 的数新开了 $k$ 个组，设 $\le n$ 的
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摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门 It's all MAGIC 这种题目一般先考虑局面要满足什么条件能必胜，然后根据这个性质来计数。 如果把黑板上的数写成一个集合 $S$，那么： $\varnothing$ 为必胜态，${1}, {2}$ 显然为必败态，打表发现其他单元素集合都为必胜态； 如果 $
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摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门 不难猜想有解充要条件为 $n \ge 5$ 且 $\frac{n(n-1)}{2} \bmod 3 = 0$。 发现如果钦定一个点的出边都为同一种颜色，那么条件 $2$ 一定满足。 那么题目等价于把 ${0,1,...,n-1}$ 分成 $3$ 组使得每组的和相等
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摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门 很典但是并不会做…… 设 $s_i = \oplus_{i=0}^n i$，所求即为： $$\sum\limits_{l=L-1}^R \sum\limits_{r=l+1}^R [s_l \oplus s_r = V]$$ 考虑把它化成下界相同的形式，即求： $
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摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门 考虑把所有 $a_i = a_{i+1}$ 的位置断开，分别计算然后把方案数乘起来。接下来的讨论假设 $a_i \ne a_{i+1}$。 考虑一个 dp，设 $f_i$ 为 $[1,i]$ 最后剩下的集合的方案数。转移显然是 $f_i \gets f_i + f
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摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门 首先将度数 $-1$。 设 $f_i$ 为体积为 $i$ 至多能用几个物品凑出来，$g_i$ 为至少。 我们现在要证明一个东西：$x \in [g_i, f_i]$，$(i, x)$ 合法。 首先若 $(s, x)$ 合法，那么必须满足 $s - x \in [-
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摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门 很厉害的题！ 考虑所有车站已确定，如何求 $0$ 到 $n+1$ 的最短路。设 $g_{i,0}$ 为只考虑 $0 \sim i$ 的点，到 $i$ 和它左边第一个 $\text{A}$ 的最短路，$g_{i,1}$ 同理。有转移： 若 $s_{i-1} = \t
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摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门 **差分约束算法：**给出 $m$ 个不等式形如 $x_{a_i} \le x_{b_i} + y_i$，求是否有解。 考虑把不等式看成图上的三角不等式 $dis_v \le dis_u + d$，连边 $(b_i, a_i, y_i)$，以 $x_i$ 最大的位
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摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门 很不错的状压。 考虑先把最后作为答案的数聚到一起，再算它们的逆序对个数。 设 $f_S$ 为当前选的数集合为 $S$ 的答案。有转移： 选 $a_i$，答案加上之前选的比它大的数； 不选 $a_i$，此时需要把左边的数或者右边的数往中间挪一个，答案加上左右两端的最
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摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门 若连通块是一棵树，考虑钦定 $k$ 个点为奇度点，方案数为 $\binom{n}{k}$。对于叶子，如果它是奇度点，那么连向它父亲的边要保留，否则不保留。这样自底向上考虑，任意一条边的保留情况都可以唯一确定，所以最后方案数就是 $\binom{n}{k}$。 若连
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摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门 挺有意思的题。 首先显然地，一个棋子不会走回头路。于是一个棋子沿着边走的效果就是区间异或。 更进一步，设 $s_i$ 为 $i-1 \to i$ 的边颜色与 $i \to i+1$ 的边颜色是否相同（差分），相当于对于每个 $i$ 都选择 $s_{a_i}$ 和
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摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门 考虑判断一个终止态是否可达。如果只有一个棋子连续段那一定可达；否则就存在 $\ge 2$ 个连续段。此时把放棋子看成删除，那么限制就是如果删除一个孤立的棋子（两边没有棋子）且还有别的格子有棋子，这个棋子的颜色 异于其他连续段的两边棋子的颜色。 设第一个被删的段（最
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摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门 考虑连边 $(i,p_i)$（若 $p_i = -1$ 则不连边），可以发现形成了一篇内向树森林且这个森林存在一个 dfs 序为 $1,2,...,n$。 这棵森林有如下性质： $\forall v \in son_u,h_u > h_v$ $\forall v,
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