草！自闭了！

重要等级 \(1\sim 5\)，越大越重要！

  • 左偏树 二项堆 PBDS！这是啥！
  • 标记永久化 线段树合并/分裂 zkw 树状数组二分！好像不算太难！
  • dsu on tree
  • splay treap 替罪羊树！学不会！好难！
  • 笛卡尔树！不难！
  • LCT 草你妈！
  • 树套树！
  • 莫队 块长 \(B=\frac{n}{\sqrt q}\) 难的：回滚莫队！树上莫队！带修莫队！
  • 李超树 树分治
  • 点分治/边分治
  • 树套数

可持久化可以将树套树优化掉一个log，例如区间第 \(k\) 大。

树状数组：
每个节点 \(i\) 维护 \(i-lowbit(i)+1\sim i\) 这段区间的信息，每个点的父亲节点为 \(i+lowbit(i)\)，例如 \(4,6,7\) 的父亲均为 \(8\)，还不是很理解维护区间端点与父亲节点的关系，可能得再想想/kel。
用此性质可以做到 \(O(n)\) 建树。
二分的话考虑对于一个 \(x\) ，将其加上 \(2^i\) 将其变成 \(y\)，则原来的前缀 \(sum_x\) 变成了 \(sum_y\) 为啥呢？考虑性质一，那么考虑使用倍增的方法维护即可，很简单。

左偏树：
满足堆的性质，当不是二叉树。
将至多一个儿子的节点叫为外节点。
考虑设 \(dis(i)\) 代表第 \(i\) 号节点到外节点的距离的最小值。
左偏树具有的性质是对于任意节点 \(i\) ，均有 \(dis(ls_i)\leq dis(rs_i)\)。
所以每个点的距离最大是 \(\log\)。
合并操作：不断在递归，若违反性质则交换子树，合并的方法好像和堆的很像！。

线段树合并/分裂：
合并：很简单，但是需要注意复杂度是否正确，这个玩意复杂度不总是对的，可以找几个题分析一下。
分裂：也不难，考虑例子，将一棵线段树分成 \(A,B\)两颗，其中 \(\leq k\) 的放在 \(A\)，其余放在 \(B\)，先二分找到分界点 \(p\)，再想想。
总结：数据结构分裂合并操作一般不是真的去搞，而是直接传指针，复杂度需要具体分析。
莫队相关：
树上莫队：

  • LG4618树上莫队
    简单说一下树上莫队，首先求出该树的欧拉序 \(a\)（不是dfs序！）
    这样我们就把树上问题转化到了序列上的问题，考虑对于节点 \(i\)，维护 \(st_i\) 和 \(ed_i\) 分别代表该节点第一次在 \(a\) 中的位置和最后一次的位置。
    考虑讲询问转化为区间的形式，对于一个询问 \(x,y\)，另 \(st_x<st_y\)（若 \(x,y\) 无祖先关系，那么一定有 \(ed_x<st_y\)。
    若 \(LCA(x,y)=x\)，那么说明此时 \(x,y\) 构成一条链，另询问区间 \([l=st_x,r=st_y]\)。
    否则，那么询问区间为 \([l=ed_x,r=st_y]\)，然后跑莫队即可，不统计出现 \(2\) 次的答案。
    注意会带来不止 \(2\) 的常数。。一个细节是，LCA的答案不会被统计，单独算一下就行。
  • LG4074糖果公园
    树上莫队+带修莫队。
  • LG2325王室联邦
    有个不知道对不对的做法，到时候试试。
    带修莫队：
    考虑加入时间维，使得操作可撤回，时间复杂度还要学习一下。
    回滚莫队：
    例题：LOJ2874历史研究
    其实没有那么难，简单的很。
    考虑按照原来的方法排序，然后对于块 \(x\) 统一考虑。
    先把 \(ql,qr\) 都在 \(x\) 内的暴力算出来，不影响复杂度。
    考虑将 \(l\) 置于 \(x\) 的右端点，\(r\) 不断扩展，每扩展一次，都把 \(l\) 再移回来，复杂度显然正确。

dsu on tree:
前置知识：按秩合并。
按秩合并应用于并查集，考虑不使用路径压缩，将小集合往大集合合并，总复杂度 \(O(n\log_n)\)（还不太会证！）。
然后就让我们来看一下这个人类智慧算法！！
例题：CF600E Lomsat gelral
特别神奇！发明人受我一拜/bx！
定义 \(i\) 的重儿子 \(x\) 是 \(i\) 的儿子中，最大的儿子，其余的为轻儿子，连接轻儿子的边叫做轻边，那么容易证明，对于任一点 \(i\)，他到根节点的轻边条数是 \(\log_n\)的。
然后讲做法，简单描述就是先递归轻儿子，统计答案但不计算对当前点的贡献。再递归重儿子，统计答案并计算对当前点贡献。再递归轻儿子，统计轻儿子对当前点的贡献。
复杂度证明：考虑一个点啥时候会被暴力算，显然是一个轻儿子的后代，既然轻边个数是log的，那么他就最多被覆盖log次，那么 \(n\) 个点，复杂度得证。

  • CF741D
    首先，我们讲每个字符表示为 \(2^x\)，一条路径的权值为亦或和，那么若 \(ans\) 可以表示为 \(2^x\) 形式，即为合法，同时，亦或和最多 \(2^{22}\) 种。
    考虑设 \(f_i\) 表示当前子树内的亦或和为 \(i\) 的最长路径长度，那么做法很显然。复杂度是1个log，带22倍常数，跑的很快。

笛卡尔树：大概理解了，但是不知道到底有没有理解/yun

点分治：先咕咕咕。

例题！：