【JZOJ1901】【2010集训队出题】光棱坦克

题目大意

一个平面直角坐标系上，有\(N\)个点，标号为\(1\)到\(N\)，其中第i个点的坐标为\((x[i],y[i])\)。
求满足以下两个条件的点列\({p[i]}\)的数目（假设\({p[i]}\)的长度为\(M\)）：

• 对任意\(1 \leq i < j \leq M\)，必有\(y[p[i]] > y[p[j]]\)；
• 对任意\(3 \leq i \leq M\)，必有\(x[p[i-1]] < x[p[i]] < x[p[i-2]]\)或者\(x[p[i-2]] < x[p[i]] < x[p[i-1]]\)。
  求满足条件的非空序列\({p[i]}\)的数目，结果对一个整数\(Q\)取模。

\(n\leq 7000\)

分析

设\(f_{i,0/1}\)，表示\(i\)往左下/右下的方案数，转移的顺序成了问题。如果我们将点按照\(x\)排序，对于一个\(i\)，倒序从\(i-1\)到\(1\)枚举\(j\)，如果\(y_j>y_i\)，就把\(f_{i,0}\)转移到\(f_{j,1}\)，否则将\(f_{j,1}\)转移到\(f_{i,0}\)，可以发现这样转移，只会从\(y\)较小的转移到较大的，并且\(i\)转移至\(j\)时，\(i\)对应的上一个点\(k\)一定在\(i,j\)中间，因此所有的转移都是合法的。这是一种极为巧妙的转移方式。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 7007;

int n, q, ans, f[N][2];
struct note { int x, y; } a[N];

int cmp(note p, note q) { return p.x < q.x; }

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &q);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d%d", &a[i].x, &a[i].y);
	sort(a + 1, a + n + 1, cmp);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = i - 1; j >= 1; --j)
			if (a[j].y > a[i].y) f[j][1] = (f[j][1] + f[i][0] + 1) % q;
			else f[i][0] = (f[i][0] + f[j][1] + 1) % q;
	for (int i = 1; i <= n; i++) ans = (ans + f[i][0] + f[i][1]) % q;
	ans = (ans + n) % q;
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}