算法第五章作业

一、回溯法分析最小重量机器设计问题
首先明确最小重量机器设计问题：给定n个部件，每个部件有m个可选供应商，第i个部件从第j个供应商采购的重量为w[i][j]、成本为c[i][j]，要求选择一个供应商组合（每个部件选一个供应商），使得总重量最小且总成本不超过给定上限C。
1.1 解空间：解空间是所有可能的供应商选择组合构成的集合。每个解可表示为向量(x₁,x₂,…,xₙ)，其中xᵢ∈{1,2,…,m}，表示第i个部件选择第xᵢ个供应商，所有满足该约束的向量共同构成解空间。
1.2 解空间树：为n叉树结构，树的深度为n（对应n个部件），根节点为初始状态（未选择任何部件）；第k层（1≤k≤n）的节点对应第k个部件的供应商选择，每个节点有m个子节点，分别代表该部件选择第1至第m个供应商；叶子节点对应一个完整的供应商组合（所有部件均选好供应商），即解空间中的一个解。
1.3 结点状态值：每个节点存储两个核心状态值——已选择部件的累计重量sum_w、已选择部件的累计成本sum_c；同时记录当前已处理的部件序号k（即已选前k个部件），用于标识节点在解空间树中的层级，便于后续遍历下一个部件的供应商。

二、对回溯算法的理解
回溯算法是一种基于深度优先搜索的穷举式算法，核心思路是按一定顺序遍历解空间树，逐步构建问题的解，若发现当前路径无法得到可行解或最优解，则回溯到上一节点，选择其他分支继续搜索，避免无效遍历。回溯算法的关键是“剪枝”操作，比如在最小重量机器设计问题中，若当前节点的累计成本sum_c已超过上限C，或累计重量sum_w已大于当前已知的最小重量，则无需遍历该节点的子节点，直接回溯，大幅减少搜索量。它适用于解空间有限、需寻找可行解或最优解的问题，如排列组合、装载问题等，虽时间复杂度较高，但能保证找到所有可行解或全局最优解，思路直观且易于实现。