算法第三章作业

一、动态规划求解分析
1.1 递归方程式
状态定义：dp[i][j] 表示从顶部到第 i 层第 j 个元素的最大路径和（0≤i≤n-1，0≤j≤i）。
递归方程：
边界（j=0 或 j=i）：dp[i][j] = dp[i-1][j'] + triangle[i][j]（j' 为唯一可到达的上一层索引）；
中间元素（0<j<i）：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + triangle[i][j]。
边界条件：dp[0][0] = triangle[0][0]。
1.2 填表法细节
表维度：n×n 二维表（n 为三角形层数）；
填表范围：行 1~n-1、列 0~i（第 i 层）；
填表顺序：从上到下、逐层填充（依赖上一层结果）；
最优值：第 n-1 层所有 dp[n-1][j] 的最大值。
1.3 复杂度分析
时间复杂度：O(n²)，需遍历 n(n-1)/2 个元素，每个元素计算为 O(1)；
空间复杂度：O(n²)（原始二维表），可优化为 O(n)（仅存当前层和上一层）。
二、动态规划算法理解与体会
动态规划核心是 “拆分问题、存储子问题最优解、避免重复计算”，核心依赖 “最优子结构” 和 “无后效性”。它不盲目枚举所有路径，而是通过状态转移积累最优结果，大幅提升效率。实际应用中，关键是找准状态定义和转移方程，填表顺序需贴合依赖关系，空间上常可通过压缩状态优化，是解决多阶段决策最优问题的高效方法。