矩阵乘法优化——Booth编码优化及稀疏运算

举例说明两个8bit乘法在Booth编码下的计算

核心概念

在标准的 8-bit 乘法中，如果你直接乘，需要处理 8 次移位和加法。 Booth 算法（Radix-4）通过将乘数每 3 位一组进行编码，每次处理 2 个 bit，将运算次数减少到 4 次（也就是生成 4 个部分积）。
编码规则： 对于分组的3bit位（b2,b1,b0）编码结果:Value = -2*b2+b1+b0

具体例子

假设计算矩阵乘中的一个单元乘法：Result = A * B,其中A = 5 = 8'b0000 0101; B = -13 = （补码）8'b1111 0011,所以可以得到结果为-65。
使用Booth编码计算：

1. 分组补0：将8bit乘数-13的分组，即5bit的高位组MSG，和4bit的低位组LSG，其中第4位比特位被高位组和低位组共用.即MSG = 1111 0;LSG = 0011, 对于LSG需要在末尾补0达到高位低位都是5位，所以新的MSG = 11110;LSG = 00110。然后需要再对MSG和LSG进行每3bit位一组的分组，中间比特位被共用:

   补码：1111 0011
   MSG =11110	LSG = 00110
   Gruop2: 110	Gruop0: 110
   Gruop3: 111	Group1: 001

2. 生成Booth码：

   组	编码	权重
   Group 0 (110)	-2*(1) + 1 + 0 = -1	20
   Group 1 (001)	-2*(0) + 0 + 1 = +1	22
   Group 2 (110)	-2*(1) + 1 + 0 = -1	24
   Group 3 (111)	-2*(1) + 1 + 1 = 0	26

3. 计算：
   计算规则为乘数分别乘Booth编码再乘对应权重：

• Group0编码为-1，权重为2⁰=1，计算为5*（-1）* 1 = -5
• Group1编码为+1，权重为2²=4，计算为5*（+1）* 4 = 20
• Group2编码为-1，权重为2⁴=16，计算为5*（-1）* 16 = -80
• Group3编码为 0，权重为2⁶=64，计算为5*（0）* 64 = 0
  累加所有-5+20-80=-65
  注意： 对于编码为0，可以直接跳过计算，对于编码为1乘数直接乘权重，对于编码为-1，直接对乘数补码取反加1。对于-2可以直接取反加1，再右移一位。乘权重直接移位即可。

关于FBS（Filtered Bit-Group Sparsification）稀疏运算

假设原始二进制： 0 1 0 1 1 0 1 1，其中MSG=01011, LSG=1011补零后 LSG=10110。
分析MSG：
MSG 的 Booth 码为 [1, 2]。非零项数量为2，然后进行约束检查: 论文要求 MSG 最多非零项数量2个。所以合格，即保留MSG所有Booth位。
分析LSG:
LSG 的 Booth 码为 [-1, -1]。非零项数量为2，然后进行约束检查: 论文要求 LSG 最多非零项数量1个。所以不合格，需要将其中一个Booth位变为0。
对LSG稀疏处理：
方案 A：
保留Booth码高位，丢弃低位，所以目标LSG的Booth码变为[-1,0],然后寻找新的5-bit数对应[-1,0]来替换原来的LSG=10110。Booth码低位为0，所以可以是000或者111.（满足-2*(b2)+b1+b0=0),Booth码高位为1，可以是101或者110。中间位需要匹配，而且最后一位必须为0，所以可以的组合只有11000。与 Booth 码原值误差|-5 - （-4)|=1

方案 B：
保留低位，目标LSG的Booth码变为[0,-1],与 Booth 码原值[-1,-1]误差为|5-（-1）|=4，直接不考虑。