bzoj3143 [Hnoi2013]游走

这个题是让你给遍赋权，问1-n路径的最小期望值。

显然只要我们知道了每一条边经过次数的期望值，我们就可以贪心地给边赋权了。但是要求边的期望值会很恶心，因为每条边正着走和反着走对其它边的贡献是不同的。于是我们考虑求每个点经过的次数的期望，那么每条边经过次数的期望就是它的端点的期望/端点的度数。

设f[i]表示i点经过次数的期望，那么f[i]=Σf[j]/d[j]  (j->i)

注意一下边界条件，由于一开始就在1号点，所以f[1]=1+Σf[j]/d[j]，而虽然n点会被经过好多次，但是n点对它连接的边是不会有贡献的，所以f[n]=0。

这样我们记可以高斯消元了。最后贪心赋边权，得到答案。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define maxn 1000
#define maxm 500000
#define eps 1e-9
#define inf 1000000000
using namespace std;
typedef double lb;
struct et
{
    int s,t;
}e[maxm];
lb a[maxn][maxn],v[maxn],w[maxm];
int d[maxn],t[maxn][maxn];
int n,m;

lb fab(lb x)
{
    return (x>0)?x:-x;
}
void gauss(int n)
{
    int k=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int p=0;
        for (int j=k;j<=n;j++)
            if (fab(a[i][j])>eps) {    p=j; break;    }
        if (!p) continue;
        for (int l=1;l<=n+1;l++) swap(a[p][l],a[k][l]);
        for (int j=k+1;j<=n;j++)
        {
            lb rate=a[j][i]/a[k][i];
            for (int l=1;l<=n+1;l++) 
                a[j][l]-=a[k][l]*rate;
        }
        k++;
    }
    for (int i=n;i;i--)
    {
        v[i]=a[i][n+1];
        for (int j=i+1;j<=n;j++)
            v[i]-=v[j]*a[i][j];
        v[i]/=a[i][i];
    }
}

void debug()
{
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=1;j<=n+1;j++)
            cout<<a[i][j]<<' ';
        cout<<endl;
    }
}

bool cmp(lb a,lb b)
{
    return a>b;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x,y;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        e[i].s=x; e[i].t=y;
        t[x][++d[x]]=y;
        if (x==y) continue;
        t[y][++d[y]]=x;
    }
    
    for (int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        a[i][i]=1;
        for (int j=1;j<=d[i];j++)
        {
            int k=t[i][j];
            if (k==n) continue;
            a[i][k]-=1.0/d[k];
        }
    }
    n--;
    a[1][n+1]=1;
    //debug();
    gauss(n);
    for (int i=1;i<=m;i++) w[i]=v[e[i].s]/(d[e[i].s]*1.0)+v[e[i].t]/(d[e[i].t]*1.0);
    sort(w+1,w+m+1,cmp);
    lb ans=0;
    for (int i=1;i<=m;i++)
        ans+=w[i]*i;
    printf("%.3lf\n",ans);
    return 0;
}