Sset

神犇考题第三题：

设 S ={x|x∈Z,1≤x≤n}给定 N 个 S 的子集 Si，每个集合有一个权值 Wi。这 N 个集合满足其中任意 K 个集合的并集中至少有 K 个元素。请从中选取若干个集合（可以不选），使得其并集的元素个数恰等于选取的集合数，且这些集合的权值和最小。

考试的时候觉得这个题相比另外两个挺可写的，于是就使劲想，想出了最大权闭合图，想出了每个集合代表一个数字，可就是没想到把这两个联系起来，无奈，最后还是在包含关系的时候出搞错了，果然我还是太弱了，构造能力捉急。

首先有一个非常有用的条件，就是任意k个集合的并集中至少有k个元素，那么，如果有一个合法的方案，那么一定可以用一个单独的元素来代表这一个集合。

我们考虑拿到一个集合权值的代价，就是要将这个集合的所有元素都拿到(k个集合,k个元素)，怎么办呢？我们只要找到所有元素表示的集合，把它们都拿到就行了。但与此同时我们拿到的集合可能会额外增加许多元素，那么把这些元素代表的集合也拿到，直到不会产生新的元素为止，这就是一个闭合图了。

于是把权值取反，跑一遍最大权闭合图就行了。

这个题精髓是条件的转化与模型的构造。

sset

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<algorithm>
  4 #include<cmath>
  5 #include<cstring>
  6 #define maxn 1000
  7 #define maxm 120000
  8 #define inf 2147483647
  9 using namespace std;
 10 struct et
 11 {
 12     int s,t,val,next;
 13 }e[maxm];
 14 int dis[maxn],gap[maxn],fir[maxn],last[maxn],g[maxn],s[maxm],t[maxm],next[maxm],mat[maxn],sign[maxn];
 15 int a[maxn][maxn];
 16 bool v[maxn];
 17 int n,m,tot,st,ed,num,top;
 18 
 19 bool match(int x)
 20 {
 21     for (int j=fir[x];j;j=next[j])
 22     {
 23         int k=t[j];
 24         if (!v[k])
 25         {
 26             v[k]=1;
 27             if (mat[k]==0||match(mat[k]))
 28             {
 29                 mat[k]=x;
 30                 return 1;
 31             }
 32         }
 33     }
 34     return 0;
 35 }
 36 
 37 int dfs(int now,int flow)
 38 {
 39     if (now==ed) return flow;
 40     int sap=0;
 41     for (int j=last[now];j;j=e[j].next)
 42     {
 43         int k=e[j].t;
 44         if (e[j].val&&dis[now]==dis[k]+1)
 45         {
 46             last[now]=j;
 47             int tmp=dfs(k,min(e[j].val,flow-sap));
 48             e[j].val-=tmp;
 49             e[j^1].val+=tmp;
 50             sap+=tmp;
 51             if (sap==flow) return sap;
 52         }
 53     }
 54     if (dis[st]>=num) return sap;
 55     if (!(--gap[dis[now]])) dis[st]=num;
 56     ++gap[++dis[now]];
 57     last[now]=fir[now];
 58     return sap;
 59 }
 60 
 61 void add(int x,int y,int z)
 62 {
 63     e[++tot].s=x; e[tot].t=y; e[tot].val=z; e[tot].next=fir[x]; fir[x]=tot;
 64     e[++tot].s=y; e[tot].t=x; e[tot].val=0; e[tot].next=fir[y]; fir[y]=tot;
 65 }
 66 
 67 int main()
 68 {
 69     //freopen("sset.in","r",stdin);
 70     //freopen("sset.out","w",stdout);
 71     scanf("%d",&n);
 72     //构造二分图
 73     tot=0;
 74     for (int i=1;i<=n;i++)
 75     {
 76         scanf("%d",&g[i]);
 77         for (int j=1;j<=g[i];j++)
 78         {
 79             scanf("%d",&a[i][j]);
 80             s[++tot]=i; t[tot]=a[i][j]; next[tot]=fir[i]; fir[i]=tot;
 81         }
 82     }
 83     //跑完美匹配
 84     for (int i=1;i<=n;i++)
 85     {
 86         memset(v,0,sizeof(v));
 87         match(i);
 88     }
 89     for (int i=1;i<=n;i++) sign[mat[i]]=i;
 90     memset(fir,0,sizeof(fir));
 91     //构造最大权闭合图
 92     st=0; ed=n+1; num=n+2; tot=1;
 93     for (int i=1;i<=n;i++)
 94         for (int j=1;j<=g[i];j++)
 95             if (a[i][j]!=sign[i]) add(i,mat[a[i][j]],inf);
 96     int z,sum=0;
 97     for (int i=1;i<=n;i++)
 98     {
 99         scanf("%d",&z);
100         z=-z;
101         if (z>0) add(st,i,z),sum+=z;else add(i,ed,-z);
102     }
103     //跑网络流
104     memset(dis,0,sizeof(dis));
105     memset(gap,0,sizeof(gap));
106     gap[0]=num;
107     for (int i=st;i<=ed;i++) last[i]=fir[i];
108     int ans=0;
109     while (dis[st]<num) ans+=dfs(st,inf);
110     if (sum-ans>0) printf("%d\n",-(sum-ans));
111     else printf("%d\n",0);
112     return 0;
113 }

posted @ 2013-05-04 16:21 Zig_zag 阅读(493) 评论(0) 收藏举报

刷新页面返回顶部