bz3112 [Zjoi2013]防守战线

这个题挺厉害的，一道线性规划和网络流结合的经典模型。

那样例来解释吧：

Min->X1+5*X2+6*X3+3*X4+4*X5

X2+X3≥1

X1+X2+X3+X4+X5≥4

X3+X4+X5≥2

X1,X2,X3,X4,X5≥0

我们可以利用对偶原理把它转化成标准形式：

Max->Y1+4*Y2+2*Y3

Y2≤1

Y1+Y2≤5

Y1+Y2+Y3≤6

Y2+Y3≤3

Y2+Y3≤4

增加松弛变量，把标准形式变成松弛形式

Max->Z=Y1+4*Y2+2*Y3

Y2+Y4=1

Y1+Y2+Y5=5

Y1+Y2+Y3+Y6=6

Y2+Y3+Y7=3

Y2+Y3+Y8=4

 

到这里，其实我们已经可以利用单纯形来解决了。这样做速度又快，代码量也很优秀。

 

接下来我们主要来研究一下网络流

分别用下面一个式子减去上面一个式子，得到：

Max->Z=Y1+4*Y2+2*Y3

Y2+Y4=1

Y1+Y5-X4=4

Y3+Y6-Y5=1

Y7-Y1-Y6=-3

Y8-Y7=1

-Y2-Y3-Y8=-4

这样我们发现，每个变量在所有式子中正负只出现了一次，正好对应了网络流流量守恒的约束。于是对于每个式子建立一个点，那么每个变量对应一条边，从一个点流出，向另一个点流入。这样，对于等式右边的常数C，如果是正的，对应从源点向该点连一条流量C，费用0的边；如果是负的对应从该点向汇点连一条流量-C，费用0的边。对于每个变量，从它系数为正的式子向系数为负的式子连一条容量为+oo，费用为它在目标函数里系数的边。这样我们的网络流模型就构造完毕了。

用spfa暴力增广可以得到70分(后面的点会超时)，如果用更快一点的原始对偶或者zkw是可以得到满分的。这里只说说zkw。由于本人技艺不精，一开始不知道zkw对于这种有负边的图需要特殊处理，所以一直没搞出来，后来经过高人指点，知道这种情况需要跑一边spfa初始化距离标号。在这个题中由于是最大费用流，那么距离标号的意义就是到汇点的最大距离，于是从汇点开始沿着反向边跑一次最短路就可以了。

献上代码：

单纯形

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define maxn 1010
#define maxm 10010
#define inf 2147483647
using namespace std;
int a[maxn][maxm],next[maxm];
int n,m;

void pivot(int l,int e)
{
    int last=-1;
    for (int i=0;i<=m;i++)
        if (a[l][i])
        {
            next[i]=last;
            last=i;
        }
    for (int i=0;i<=n;i++)
    {
        if (a[i][e]==0||i==l) continue;
        for (int j=last;j!=-1;j=next[j])
        {
            //cout<<j<<' ';
            if (j==e) continue;
            a[i][j]-=a[i][e]*a[l][j];
        }
        //cout<<endl;
        a[i][e]=-a[i][e];
    }
}

int simplex()
{
    while (1)
    {
        int now=0;
        for (int i=1;i<=m;i++) 
            if (a[0][i]>0) { now=i; break; }
        if (now==0) return -a[0][0];
        int tmp,mi=inf;
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            if (a[i][now]>0&&a[i][0]<mi)
            {
                tmp=i;
                mi=a[i][0];
            }
        }
        pivot(tmp,now);
    }
}

int main()
{
    //freopen("defend.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i][0]);
    int x,y;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&a[0][i]);
        for (int j=x;j<=y;j++)
            a[j][i]=1;
    }
    int ans=simplex();
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

 

zkw

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define maxn 1010
#define maxm 200000
#define inf 2147483647
using namespace std;
struct et
{
    int s,t,val,cost,next;
}e[maxm];
int fir[maxn],a[maxn],dis[maxn],v[maxn],q[maxm],pre[maxn];
bool inque[maxn];
int n,m,st,ed,tot,ans;

void prepare()
{
    for (int i=st;i<=ed;i++) dis[i]=-inf;
    int head=0,tail=1;
    q[1]=ed; dis[ed]=0; inque[ed]=1;
    while (head<tail)
    {
        int now=q[++head];
        for (int j=fir[now];j;j=e[j].next)
        {
            int k=e[j].t;
            if (e[j^1].val&&dis[k]<dis[now]+e[j^1].cost)
            {
                dis[k]=dis[now]+e[j^1].cost;
                if (!inque[k]) q[++tail]=k,inque[k]=1;
            }
        }
        inque[now]=0;
    }
}

int dfs(int now,int flow)
{
    if (now==ed)
    {
        ans+=dis[st]*flow;
        return flow;
    }
    int sap=0;    v[now]=1;
    for (int j=fir[now];j;j=e[j].next)
    {
        int k=e[j].t;
        if (!v[k]&&e[j].val&&dis[now]==dis[k]+e[j].cost)
        {
            int tmp=dfs(k,min(e[j].val,flow-sap));
            e[j].val-=tmp;
            e[j^1].val+=tmp;
            sap+=tmp;
            if (sap==flow) return sap;
        }
    }
    return sap;
}

bool adjust()
{
    int tmp=-inf;
    for (int i=st;i<=ed;i++) if (v[i])
        for (int j=fir[i];j;j=e[j].next)
        {
            int k=e[j].t;
            if (!v[k]&&e[j].val) tmp=max(tmp,dis[k]+e[j].cost-dis[i]);
        }
    if (tmp==-inf) return 0;
    for (int i=st;i<=ed;i++) if (v[i])
        dis[i]+=tmp;
    return 1;
}

void add(int x,int y,int z,int w)
{
    e[++tot].s=x; e[tot].t=y; e[tot].val=z; e[tot].cost=w; e[tot].next=fir[x]; fir[x]=tot;
    e[++tot].s=y; e[tot].t=x; e[tot].val=0; e[tot].cost=-w; e[tot].next=fir[y]; fir[y]=tot;
}

int main()
{
    //freopen("defend.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    st=0; ed=n+2; tot=1;
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for (int i=1;i<=n+1;i++)
        if (a[i]-a[i-1]>0) add(st,i,a[i]-a[i-1],0);
        else add(i,ed,a[i-1]-a[i],0);
    int x,y,z;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y+1,inf,z);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
        add(i,i+1,inf,0);
    prepare();
    //for (int i=st;i<=ed;i++) cout<<dis[i]<<' '; cout<<endl;
    do 
        do memset(v,0,sizeof(v));
        while (dfs(st,inf));
    while (adjust());
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}