约数

定义：如果 \(a\) 是 \(b\) 的约数，即 \(a \bmod b=0\)，记为 \(a \mid b\)。

• 如果 \(a \mid b\) 并且 \(a \mid c\)，那么 \(a \mid (bx+cy)\)

1. 最大公约数

记 \(\gcd(a,b)\) 为 \((a,b)\)。

显然 \(d \mid (a,b)\) 等价于，\(d \mid a\) 且 \(d \mid b\)

显然 \((a,b)=(a+b,b)=(a-b,b)=(a \bmod b,b)\)

1.1 更相减损术

由于 \((a,b)=(b,a)=(a-b,b)\)，所以每次让大数减小数，直到 \(a=b\) 返回 \(a\) 即可。

由于减法高精度比较容易实现，所以一般用于高精度。

1.2 辗转相除法

又名欧几里得算法

因为 \((a,b)=(b,a)=(a \bmod b,b)\)，所以每次让大数模小数，如果 \(b=0\)，那么返回 \((0,a)=a\)。

辗转相除法的时间复杂度为 \(\mathcal{O}(\log n)\)，而更相减损术复杂度复杂度有可能劣化为 \(\mathcal{O}(n)\)，所以一般都是用辗转相除法求 \(\gcd\)。

1.3 扩展欧几里得算法

求 \(ax+by=(a,b)\) 的一组解

考虑求 \(bx_2+(a \bmod b)y_2=(b,a \bmod b)\) 的解

因为 \((a,b)=(b,a \bmod b)\)，

所以

\[bx'+(a \bmod b)y'=ax+by \]

\[bx'+(a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b)y'=ax+by \]

\[bx'+ay'-(b \times \lfloor \frac{a}{b} \rfloor)y'=ax+by \]

\[ay'+b(x' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y')=ax+by \]

所以 \(x=y'\)，\(y=x'-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y'\)，

就这样一直递归，直到 \(b=0\)，此时有一组特解 \(x'=1\)，\(y'=0\)，然后返回，向上递归，每次令 \(x=y'\)，\(y=x'-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y'\)，最后求出 \(x\) 和 \(y\)。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	int d=exgcd(b,a%b,x,y); 
	t=x,x=y,y=t-a/b*y;
	return d;
}

exgcd 可以用来求解二元一次不定方程，设其为 \(ax+by=c\)，由裴蜀定理可得 \((a,b) \mid ax+by\)，所以 \((a,b) \nmid c\)，方程一定无解，否则用 exgcd 求 \(ax+by=(a,b)\) 的一组解，最后再令 \(x\) 和 \(y\) 同乘 \(\frac{c}{(a,b)}\) 即可。

以上做法只求出了一组解 \(x_0\) 和 \(y_0\)，而次方程的全体解就是 \(x=x_0+k \frac{b}{(a,b)}\)，\(y=y_0-k \frac{a}{(a,b)}\)。

2. 最小公倍数

记 \(\operatorname{lcm}(a,b)\) 为 \([a,b]\)。

最小公倍数与最大公约数的关系是 \([a,b] \times (a,b)=a \times b\)

3. 互质与欧拉函数