均分纸牌问题

有 \(n\) 个人排成一列（或一个环），第 \(i\) 个人手里有 \(c_i\) 张牌，在每一步操作中，可以让某人给他左边或右边的人一张牌，问最少多少步可以让每个人手中的牌数相等。

线性均分纸牌问题

定义 \(\texttt{avg}\) 为总数的平均数，如果 \(\texttt{avg}\) 不是整数的话，就是无解。否则要使每堆纸牌的数量一样多的话，那么经过移动后要使 \(A_i=\texttt{avg}\)。

对于第一堆牌，它会与第二堆牌产生 \(\lvert x_1-\texttt{avg} \lvert\) 张牌的交换，多退少补，并累加答案。此时发现第一堆牌已经符合条件了，那么第一堆就可以忽略了，此时第二堆就变成了第一堆，继续重复上述步骤。

为什么这样做是最优的呢？可以发现在上述过程中，每一步都是必须的，没有多余的步骤，所以必然是最优解，这也是贪心思想的体现。

如果移牌的过程中出现负数怎么办？假设 \(c_i\) 在移动过程中是负数，那么接下来他一定会在 \(c_{i+1}\) 处拿牌。可以认为 \(i+1\) 向 \(i\) 给予牌是在 \(i\) 给予 \(i-1\) 牌之前，所以不影响结果。

对于如何统计答案，模拟上述过程，发现就是遍历每个人，并将其纸牌数变为 \(\texttt{avg}\)。假设要令 \(c_i=\texttt{avg}\)，由算法流程可知，前 \(i-1\) 个人都有 \(c_j=\texttt{avg}\)，而前 \(i\) 个人共有 \(tot_i\) 张纸牌（\(tot\) 是 \(c\) 的前缀和），并且后面的人没有给前 \(i\) 个人牌，所以说现在的 \(c_i=tot_i-(i-1)\times\texttt{avg}\)，故第 \(i\) 个人与第 \(i+1\) 个人之间的纸牌交换数量为 \(\lvert c_i-\texttt{avg} \rvert=\lvert tot_i-i\times\texttt{avg}\rvert\)。而总的答案就是： $$\sum\limits_{i=1}^{n}\lvert tot_i-i\times\texttt{avg}\rvert$$
为了方便起见，可以一开始就将 \(c_i-\texttt{avg}\)，那么最终就要使每个 \(c_i=0\)，那么答案就是：$$\sum\limits_{i=1}^{n}\lvert tot_i \rvert$$

环形均分纸牌问题

约定：此问题沿用上述线性问题解法中的定义

解法一

假设第 \(i\) 个人给了第 \(i-1\) 个人 \(x_i\) 张卡牌，特别的，\(x_1\) 表示第 \(1\) 个人给了第 \(n\) 个人的牌的数量，所以此题的要求就是最小化 \(\sum\limits_{i=1}^{n}\lvert x_i \rvert\)。

由题意可得以下方程组：

\[\left\{ \begin{array}{} c_1-x_1+x_2=0\\ c_2-x_2+x_3=0 \\c_3-x_3+x_4=0 \\ \cdots \\ c_{n-1}-x_{n-1}+x_n=0 \\ c_n-x_n+x_1=0 \end{array}\right. \]

将 \(x_i\)（\(i>1\)）全部以 \(x_1\) 表示，可得：

\[\left\{ \begin{array}{} x_1=x_1-0 \\ x_2=x_1-c_1\\ x_3=x_1-(c_1+c_2) \\ \cdots \\ x_n=x_1-(\sum\limits_{i=1}^{n-1}c_i) \end{array}\right. \]

令 \(t_i=\sum\limits_{j=1}^{i-1}c_j\)，那么 \(x_i=x_1-t_i\)，所以 \(\sum\limits_{i=1}^{n}\lvert x_i \rvert=\sum\limits_{i=1}^{n}\lvert x_1-t_i \rvert\)。

所以只需要选确定 \(x_1\) 的值就行了，这是经典的仓库选址问题，由结论可得，\(x_1\) 是 \(t\) 序列的中位数。

解法二

首先，有一个结论，那就是一定有一种最优解中有两个人之间没有发生纸牌交换。

证明

由解法一可得 \(x_1\) 是 \(t\) 序列的中位数，如果 \(t\) 的长度是奇数，那么 \(x_1=t_{\frac{n}{2}+1}\)，否则 \(x_1\in[t_{\frac{n}{2}},t_{\frac{n}{2}+1}]\)，所以 \(x_1\) 一定可以等于 \(t\) 中的某一个值，那么就有一个 \(x_i=x_1-t_i=0\)，得证。

有了上述结论，就可以断环为链，转化为线性问题，此时 \(ans=\sum\limits_{i=1}^{n}\lvert tot_i\rvert\)，所以只需要搞清楚 \(tot\) 数组的变化即可。

假设在第 \(k\) 个人之后断开，此时的 \(c\) 数组就变为了 $$c_{k+1},c_{k+2},\cdots,c_n,c_1,c_2,\cdots,c_k$$其对应的 \(tot\) 数组也就变为了 $$tot_{k+1}-tot_k,tot_{k+2}-tot_k,\cdots,tot_n-tot_k,tot_1+tot_n-tot_k,\cdots,tot_k+tot_n-tot_k$$因为每个 \(c_i\) 都减去了 \(\texttt{avg}\)，所以 \(tot_n=0\)，那么此时 \(ans=\sum\limits_{i=1}^{n}\lvert tot_i-tot_k\rvert\)，与解法一的结论相似，即 \(tot_k\) 为 \(tot\) 序列的中位数。