复习
导数概念题总结⭐⭐⭐
第七套 2T（导数极限概念总结）_哔哩哔哩_bilibili
前置知识
什么是可导
可导就是左右导数相等
振荡函数依然有可导的权利
导函数性质
结论是： \(f'_{-}(0)\)和\(\lim\limits _{x→0}f'(x)\) 这样的单侧导数和导数极限没有任何关系，两者任何以访存在都无法推导出另外一方存在
f(x) = x （x != 0)
lim f'（x) 由原函数求导得到
某点导数值由定义求
左右导都存在才能说明该点导数存在，而左右导存在且相等才能说明该点可导
本题是对于（0，+inf） 可导，对于 0 这一点是不一定可导的，因为右导数都不一定存在，因此左右导数不一定相等，因此
对这条就失效了，这条需要 左右导数存在且相等
一点推不了区间
⭐
导函数对原函数的几何角度
注意：趋于无穷的特殊情况⭐⭐⭐
近似水平线、或者振荡
原函数推导函数（什么都推不出来）
原函数为无穷，导函数极限各种情况都存在⭐⭐⭐
原函数存在，导函数极限可能为0，可能不存在⭐
^c383e7
例题
C
原函数推导函数什么都推不出来，排除AD
B选项特例
C选项若二阶导=A！=0，f(x)必定无界，冲突了，因此二阶导为0
×⭐⭐⭐
⭐⭐⭐
AB都是一点性质推区间，错误
C利用下面这条性质1
D选项可以为振荡，振荡处处可导，但是导函数不连续
可导就是左右导数相等
A选项：一点推不出领域
选C
？？？？？？？？？？？？？？？
A是因为fx在x=a处可能不连续，如果fx连续，A就是对的
AB = BA 总结⭐⭐⭐
AB = BA 可以推出来什么
翻译:矩阵A是一个对角矩阵，并且它的对角线元素互不相同，而还存在一个矩阵B，如果A与B可交换，即AB＝BA，那么B也是对角矩阵
^44fa18
\(AA^T\)⭐⭐⭐
^bedd7e
用二次型的角度来看，就是一个平方和形式的二次型
反对称矩阵 \(A^T=A\)
主对角线上全为0，对称元素为相反数
真题证明题汇总⭐⭐⭐
777 混分
个人总结
基本手法
- 拉格朗日
- 柯西
- 考虑藏零点
- 尤其是出现 ln
- 构造原函数罗尔
- 泰勒（二阶导数以上）
- 积分不等式
- 通法：让一个常量变成变量求导观察单调性
- 双中值
- 不要求中值不等
- 分别采用柯西或者拉格朗日
- 要求不等
- 找一个分界点，对两个区间拉格朗日
- 不要求中值不等
讨论
证明 口口=0
f'' = 0
可以把一些东西看成导数形式
例如李六这题，f(x)看作一个变限积分的导数
泰勒
找原函数
3（\(f^2\) 视作 \(f*f\) 然后微分方程，不定积分 转化为 [a,x] 的变限积分）⭐
4（\(f(x) - x\) 视作整体，\(f'(x) - 1\) 视作这个整体的导数）⭐
5（\(f'(x) - 1\) 视作整体，\(f''(x)\) 视作这个整体的导数）⭐
6（乘积求导）⭐
7、8（乘开，视作乘积求导）⭐
9（乘开，对式子积分，然后分部积分拆开）⭐
第一问，考虑罗尔构造原函数或者零点定理
第二问考虑找三个点相等的，罗尔
其中找第三个点采用极限保号性+零点定理
泰勒
介值定理
|a + b| <= |a| + |b|
中值定理
不要求两中值不等
要求两点不等
找区间内一点设为 c，对划分出来的两个区间分别拉格朗日
找交点
不等式
真题
泰勒×
泰勒×
介值定理
第二问说内部取极值，说明要在 极值点 c 展开
积分不等式×
看到积分不等式第一反应构造函数无脑求导
条件推结论是充分性
结论推条件是必要性
必要性
两个不同点相同，构造原函数，罗尔
对第二个积分分部积分，用积分中值定理
拉格朗日中值定理几何意义 （待补充）
柯西×
反证
泰勒然后凑导数定义
是两个不同的值
假设 一阶导 卡在 m，M之间，一阶导可以取到 m，M 之间任何一个数，这是对应前一个变量
证明 对f(x)积分也去证明卡在 m，M之间，这样 后面那个积分也可以取到 m，M 之间任何一个数
这时取两个不同值，可以让他相等
泰勒 ×
不是证明的证明
罗尔+构造函数
f(0) = 0
找一个导函数0点，两个原函数零点
藏零点
怪题
积分不等式
考虑变限积分求导就行
构造原函数
第一问用极限语言描述
第二问构造原函数
数列极限（ep原题）
第二问，随便找一个上界，xn取一个数使得 lnxn > 1
取极限不等号要变成等号
数列极限（ep原题）
数列极限
罗尔
2f(0) = f(2) + f(3) 如何转换？
用介值定理
双中值：构造函数 + 拉格朗日
多次拉 + 零点定理
分情况讨论
分情况讨论f取最大值、g取最大值
同时取最大和不是同时取最大值
双中值：拉格朗日
介值定理
物理应用
追击问题
路程：速度对时间积分
牛二
阻力记得加负号
变化率
注意：恒温
进出问题
浙公网安备 33010602011771号