9.5

9.5

题目	时限	空间
P11383	7000ms	512Mib
P15849	2000ms	1024Mib
qoj6846	3000ms	1024Mib
P15403	2500ms	1024Mib

喜提：0+20+45+0=65。

T1 P11383

给定 \(a_i\) 和 \(b_i\)，求分配方案使得 \(\sum_{i\in A}a_i \geq \sum_{i \in B}a_i - \min_{i \in B} a_i\)，B 的条件等价，输出方案。
\(n:5*10^5，a_i,b_i:10^9\)。

考虑简化版：\(a_i = b_i\)。
将整个序列从大到小排序，有 \(A\) 和 \(B\) 两堆，若 \(A<B\)，则放入 \(A\)，否则放入 \(B\)。

正确性：放入的数为最小的数，若放入的是 \(A\) 堆，那么原先 \(B>A\)，即去掉放入的数，满足条件，而如果此时 \(B\) 去掉一个数，那么显然 \(B<A\)，正确性显然。

如何将简化版推广到 \(a_i \neq b_i\)。

考虑对于先对于 \(a\) 做简化版，那么此时 \(A\) 和 \(B\) 两堆没有顺序，那么谁选 \(A\) 就看第二个限制。

本问题抓住 \(\min\) 想到可以倒序做。

T2 P15849

给定长为 \(n\) 的序列 \(c_i\)，求最长连续段使得，\(\max(f1,f2,f3) - min(f1,f2,f3) \leq k\)，\(f1\) 为 \(1\) 出现次数，\(f2\)，\(f3\) 同理。
\(n:2*10^5，k:2*10^5，ci:3\)

trick: 由简单记录三种颜色转化为记录颜色之间的差值。

但是这样无法确定正负。

不妨考虑固定颜色1，\(p_i=f1_i-f2_i\)，\(q_i = f1_i - f3_i\)，则对于一个区间 \([l,r]\)，当 \(p_r-p_{l-1} \leq k\)，且 \(q_r - q_{l-1} \leq k\) 时，是合理的。

这就转化成了二维数点问题，直接扫描线 + 线段树做。

方便一点，可以证明除去整个序列满足平衡，对于一个满足 \(\leq k-1\) 的子段，不妨考虑往两边扩展，那么一定还是 \(\leq k\) 的，那么直接考虑为 \(k\) 的即可。

于是可以考虑用桶 + 线段树简单维护。

T3 QOJ6846

有 \(n\) 个终端，记为 \(P_i\)，位置为 \((i,1)\)，\(n\) 个中继站，记为 \(Q_j\)，位置为 \((j,-1)\)，\(P_i\) 使用费用为 \(u_i\)，\(Q_j\) 使用费用为 \(v_j\)，任意 \(P_i\) 和 \(Q_j\) 可建立链路，收益为 \(w_{i,j}\)；
但是链路不能相交，终端至多在一条链路，中继器可在多条链路内，每次询问给出 \(l_1\),\(r_1\),\(l_2\),\(r_2\)，表示仅能使用 \(l_1 \sim r_1\) 的终端，\(l_2\sim r_2\) 的中继器，求最大方案价值。
\(n:300，q:10^5，u_i,v_i:10^4，w_{i,j}:10^4\)。

\(n^2\) 的 dp 是好想到的。
抄一下dp 式子：
令 \(H_{i,j}\) 表示中继站 \(j\) 被使用，费用已支付，而 \(F_{i,j}\) 不做强制需求，考虑终端 \([a,i]\) 和中继站 \([c,j]\)。

\[H_{i,j} = \max(H_{i-1,j}+\max(0,p_{i,j}),F_{i-1,j-1}+p_{i,j}-v_{j}) \]

\[F_{i,j} = \max(F_{i-1,j},F_{i,j-1},H_{i,j}) \]

trick: 为了让问题更直观，不妨将其转化到图上做，不难发现图是一个 DAG。

连边是显然的，那么就是求 \(S\) 到 \(T\) 的最长路。

由数据分点提示可以考虑将表格不断分治，考虑先按行分成两部分，令 \(m = \lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor\)，那么可以分成左右两部分，那么对于中间的点，可以充当一个媒介。

再考虑按列分为两部分，那么可以分为上下两部分。

将两种分法交替轮流下去，时间复杂度：\(\mathcal{O(n^3)}\)，那么查询的时候就可以查询路径的媒介点。