P3951 [NOIP 2017 提高组] 小凯的疑惑

前提：\(\gcd(a,b)=1\).
结论\(1\)：对于两个正整数 \(a,b\)，若 \(n = ab-a-b\)，则 \(n\) 无法被表示成 \(n = ax+by (x\geq 0,y\geq 0)\).
证明：
\(ab-a-b = (a-1)(b-1)-1\)
\(ab-a-b = ax+by\)
\(ab = a(x+1)+b(y+1)\)
由于 \(a,b\) 互素，所以 \(a|(y+1),b|(x+1)\)
所以 \(a(x+1)+b(y+1) \geq 2ab > ab\).
证毕。

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结论\(2\)：对于两个正整数 \(a,b\)，若 \(N = ab-a-b\)，则所有 \(n>N\) 都可以被表示成 \(n=ax+by(x\geq 0,y\geq 0)\).
证明：
令 \(ax+by = n\) 的解为 \(x_0,y_0\).
\(y=y_0-at\) 使 \(0 \leq y \leq a-1\).
于是有 \(ax = n-by > ab-a-b-by \geq ab-a-b-b(a-1) = -a\).
\(x>-1\)，\(y\) 是对称的，证毕。

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结论\(3\)：对于两个正整数 \(a,b\)，若 \(N = ab-a-b\)，则如果 \(n<N\) 不可以被表示，则 \(N-n\) 可以被表示。
证明：
\(n = ax_0 + by_0\)，若 \(0 \leq y_0 \leq a-1\)，则 \(x_0<0\).
\(N-n = ab-a-b-ax_0-by_0 = b(a-1-y_0)+a(-x_0-1)\)，\(a-1-y_0 \geq 0\),\(-x_0-1 \geq 0\)，证毕。