【POJ1737】Connected Graph

题意

求有标号联通无向图的个数。

思路

不妨设 \(f_{n}\) 表示有 \(n\) 个点时有标号联通无向图的个数。
考虑用总情况减去不连通情况。

总情况

总情况显然是 \(2^{\binom{n}{2}}\)（每两个点的边选或不选）。

不连通

以 \(1\) 为参考系进行考虑，枚举 \(1\) 连通块的大小，记为 \(j\)。

\[f_{i} = \sum_{j=1}^{i-1} f_{j} \binom{i-1}{j-1}2^{\binom{i-j}{2}} \]

code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

const ll N = 1005,mod = 1004535809;

ll n;
ll qp[N*N];
ll f[N],C[N][N];

void add(ll &x,ll y){
	(x+=y)%=mod,(x+=mod)%=mod;
}
int main() {
	cin>>n;
	qp[0]=1,C[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		C[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++)
			C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
	}
	for(int i=1;i<=n*n;i++)
		qp[i]=qp[i-1]*2%mod;
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i]=qp[i*(i-1)/2];
		for(int j=1;j<i;j++)
			add(f[i],-C[i-1][j-1]*f[j]%mod*qp[(i-j)*(i-j-1)/2]%mod);
	}
	cout<<f[n];
	return 0;
}