【学习笔记】逆元

同余类

模 \(m\) 的同余类。
\(\mathbb{Z}_m = {\overline{0},\overline{1},...\overline{m-1}}\).
模 \(m\) 的缩同余类。
\(\mathbb{Z_m}^{*} = {\overline{x}|0<x<m,\gcd(x,m)=1}\).

定义

若 \(a \in \mathbb{Z_m}^{*}\)，\(\exists b\in \mathbb{Z_m}^*\)，\(a\cdot b = 1 (\mod m)\).

存在性

\[a\cdot b = m\cdot k+1(k \in \mathbb{Z}) \]

\[a \cdot b - m \cdot k = 1 = \gcd(a,m) \]

根据扩展欧几里得定理可得，存在这样一个 \(b\)。

线性求逆元

考虑求 \(1 \sim n\) 的数模 \(p\) 意义下的逆元。
从 \(n\) 出发来看。
\(p = k \cdot n + r\)，其中 \(k = \lfloor\frac{p}{k}\rfloor\)，\(r = p\mod k\).
有 \(kn + r \equiv 0 \pmod{p}\)
同时乘上 \(n^{-1} \cdot r^{-1}\)，则有 \(k \cdot r^{-1} + n^{-1} \equiv 0 \pmod{p}\).
于是有 \(n^{-1} \equiv -k \cdot r^{-1} \pmod{p}\).
\(r^{-1}\) 之前已经求出来，写成递推式就变成：

inv[n] = -k*inv[r]%p;