【学习笔记】裴蜀定理/扩展欧几里得

设 \(a,b\) 不全为 \(0\)，且 \(a,b \in \mathbb{Z}\).
\(\exists x,y\)，使 \(ax+by = \gcd(a,b)\).
不失一般性，设 \(a,b\) 非负，且 \(a \leq b\).

1. a=0，则 \(\gcd(a,b)=b \implies x=0,y=1\).
2. a>0，令 \(c=b \mod a\)。
   找 \(x_0,y_0\) 使 \(cx_0 + ay_0 = \gcd(c,a)\).
   令 \(d = \lfloor \frac{b}{a} \rfloor\)，则 \(b\) 可以表示为 \(ad+c\)，所以 \(c = b-ad\).
   带入回去得 \((b-ad)x_0 + ay_0 = \gcd(c,a) = \gcd(a,b) = ax_0 + by_0\).
   移项得 \(a(y_0-x_0d)+bx_0 = \gcd(a,b)\).
   于是递归时把 \(x_0,y_0\) 换成 \(y_0-x_0d\) 和 \(x_0\) 即可。

ll exgcd(ll a,ll b){
	if(b==0){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	
	ll d=exgcd(b,a%b); 
	ll t=x;
	x=y,y=t-(a/b)*y;
	return d;
}