Codeforces 1473E Minimum Path 题解 [ 蓝 ] [ 分层图最短路 ] [ 贪心 ] [ 构造 ]

Minimum Path

神仙分层图题。

不要考虑原式的实际含义，我们直接对整个式子考虑，设 \(e_{\max}\) 为最大边，\(e_{\min}\) 为最小边：

\[\sum\limits_{i=1}^{k}{w_{e_i}} - \max\limits_{i=1}^{k}{w_{e_i}} + \min\limits_{i=1}^{k}{w_{e_i}} = \sum\limits_{i=1, e_i\ne e_{\max}, e_i\ne e_{\min}}^{k}w_{e_i} + 2 \min\limits_{i=1}^{k}{w_{e_i}} \]

容易发现我们把最大边的权值乘了一个 \(0\) 的系数，而把最小边的权值乘了一个 \(2\) 的系数。

发现当我们强制要求一定要有一条边权值乘 \(\bm 0\)，另一条边权值乘 \(\bm 2\)，求最短路的时候。我们乘 \(0\) 的一定是最大边，乘 \(2\) 的一定是最小边。

因此考虑建四层分层图：

• 第一层：没有乘 \(0, 2\)。
• 第二层：只乘了 \(0\)。
• 第三层：只乘了 \(2\)。
• 第四层：\(0, 2\) 都乘过了。

跑最短路即可。时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define eb(x) emplace_back(x)
#define pb(x) push_back(x)
#define lc(x) (tr[x].ls)
#define rc(x) (tr[x].rs)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
using pi = pair<int, int>;
using pl = pair<ll, int>;
const int N = 800005;
int n, m;
int getid(int x, int id)
{
    return (id * n + x);
}
vector<pi> g[N];
void add(int u, int v, int w)
{
    g[u].push_back({v, w});
}
void addeg(int u, int v, int w)
{
    g[u].push_back({v, w});
    g[v].push_back({u, w});
}
ll dis[N];
priority_queue<pl, vector<pl>, greater<pl> > q;
bitset<N> vis;
void Dijkstra()
{
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[getid(1, 0)] = 0;
    q.push({0, getid(1, 0)});
    while(!q.empty())
    {
        pl tmp = q.top();
        q.pop();
        int u = tmp.se;
        if(vis[u]) continue;
        vis[u] = 1;
        for(auto eg : g[u])
        {
            int v = eg.fi, w = eg.se;
            if(dis[v] > dis[u] + w)
            {
                dis[v] = dis[u] + w;
                q.push({dis[v], v});
            }
        }
    }
}
int main()
{
    //freopen("sample.in", "r", stdin);
    //freopen("sample.out", "w", stdout);
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        addeg(getid(u, 0), getid(v, 0), w);
        addeg(getid(u, 1), getid(v, 1), w);
        addeg(getid(u, 2), getid(v, 2), w);
        addeg(getid(u, 3), getid(v, 3), w);

        add(getid(u, 0), getid(v, 1), 0);
        add(getid(v, 0), getid(u, 1), 0);
        add(getid(u, 2), getid(v, 3), 0);
        add(getid(v, 2), getid(u, 3), 0);

        add(getid(u, 0), getid(v, 2), 2 * w);
        add(getid(v, 0), getid(u, 2), 2 * w);
        add(getid(u, 1), getid(v, 3), 2 * w);
        add(getid(v, 1), getid(u, 3), 2 * w);        

        add(getid(u, 0), getid(v, 3), w);
        add(getid(v, 0), getid(u, 3), w);
    }
    Dijkstra();
    for(int i = 2; i <= n; i++) cout << dis[getid(i, 3)] << " ";
    return 0;
}