Codeforces 380E Sereja and Dividing 题解 [ 紫 ] [ 线段树 ] [ 贪心 ] [ 数学 ]

Sereja and Dividing：一年前的模拟赛就能秒这个 *2600 了，可我现在怎么还这么菜 /ll/ll/ll。

先考虑当杯子的集合固定时如何选择，显然一个杯子不会被选第二次，并且杯子从大到小选一定是最优的。证明只需要列出最后答案的式子：\(ans = \dfrac{a_1 + \dfrac{a_2 + \dfrac{a_3 + \dfrac{\cdots}{2}}{2}}{2}}{2}\)，就能发现，\(a_1\) 对答案的系数是 \(\dfrac{1}{2}\)，\(a_2\) 对答案的系数为 \(\dfrac{1}{4}\)，\(a_i\) 对答案的系数为 \(\dfrac{1}{2^i}\)。因此 \(a_1, a_2, \cdots , a_n\) 一定是降序排列的。

接下来考虑如何计算它。注意到每个数的贡献与它在区间内的排名有关，如果一个数的排名为 \(i\)，那么它的贡献为 \(\dfrac{1}{2^i}\)，于是从小到大把元素加入，然后直接上线段树维护已加入元素的贡献。具体地，一开始线段树上的值全都是 \(1\)。当加入 \(a_x\) 时，令 \(x\) 处的值为 \(\dfrac{1}{2}\)。然后根据乘法原理可知答案为：

\[\sum_{i = 1}^{x}(\prod_{j = i}^{x}val_j)\times\sum_{i = x}^{n}(\prod_{j = x}^{i}val_j)\times a_x \]

因此线段树上维护区间内前缀 / 后缀积的和即可。时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

代码是从模意义下答案的版本魔改过来的，所以 ll 类型的意思其实是 long double，凑合着看吧。

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define lc (p<<1)
#define rc ((p<<1)|1)
using namespace std;
typedef long double ll;
typedef pair<int,int> pi;
const int N=300005;
struct node{
	int l,r;
	ll mul,lpsum,rpsum;
}tr[4*N];
void pushup(node &p,node ls,node rs)
{
	p.mul=ls.mul*rs.mul;
	p.lpsum=(ls.lpsum+ls.mul*rs.lpsum);
	p.rpsum=(rs.rpsum+rs.mul*ls.rpsum);
}
void build(int p,int ln,int rn)
{
	tr[p]={ln,rn,1,1,1};
	if(ln==rn)return;
	int mid=(ln+rn)>>1;
	build(lc,ln,mid);
	build(rc,mid+1,rn);
	pushup(tr[p],tr[lc],tr[rc]);
}
void update(int p,int x)
{
	if(tr[p].l==x&&tr[p].r==x)
	{
		tr[p].mul=tr[p].mul/2.0;
		tr[p].lpsum=tr[p].mul;
		tr[p].rpsum=tr[p].mul;
		return;
	}
	int mid=(tr[p].l+tr[p].r)>>1;
	if(x<=mid)update(lc,x);
	else update(rc,x);
	pushup(tr[p],tr[lc],tr[rc]);
}
node query(int p,int ln,int rn)
{
	if(ln<=tr[p].l&&tr[p].r<=rn)
	{
		return tr[p];
	}
	int mid=(tr[p].l+tr[p].r)>>1;
	if(rn<=mid)return query(lc,ln,rn);
	if(ln>=mid+1)return query(rc,ln,rn);
	node tmp;
	pushup(tmp,query(lc,ln,rn),query(rc,ln,rn));
	return tmp;
}
int n;
ll a[N],ans=0;
pi b[N];
bool cmp(pi x,pi y)
{
	return x>y;
}
ll con(ll p)
{
	node rnd=query(1,p,n);
	ll rans=rnd.lpsum;
	node lnd=query(1,1,p);
	ll lans=lnd.rpsum;
	return (lans*rans);
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
        scanf("%Lf", &a[i]);
		b[i]={a[i],i};
	}
	sort(b+1,b+n+1,cmp);
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ans=(ans+((con(b[i].se) / 2.0)*b[i].fi));
		update(1,b[i].se);
	}
	printf("%.15Lf", ans / (ll(n) * ll(n)));
	return 0;
}