Luogu P7276 送给好友的礼物 题解 [ 蓝 ] [ 树上背包 DP ] [ 交换维度 ]

送给好友的礼物：众所周知，当两个 trick 被强行揉在了一起，它就成了一道新题。

观察路径，好像没有什么特别厉害的性质。因为数据范围较小，所以不难想到暴力 DP：定义 \(dp_{u, i, j}\) 表示 \(u\) 的子树内，小 M 走 \(i\) 步，小 B 走 \(j\) 步能否将整颗子树全部拿完。转移的时候需要做双层树上背包，复杂度直接爆炸，显然不可行。

考虑对 DP 进行优化，注意到 DP 内的值只能是 \(0/1\)，值域极小，且当 \(i\) 确定、有合法方案时，\(j\) 更小一定更优，所以考虑“交换 DP 维度”的经典 trick。具体地，交换 \(j\) 与 \(dp\)，新状态就是 \(dp_{u,i}\) 表示 \(u\) 子树内，小 M 走了 \(i\) 步，在将整颗子树拿完的前提下，小 B 最少要走的步数。

接下来就是个很板的树形背包了，运用上下界优化可以做到 \(O(n^2)\)。合并背包的转移方程如下：

\[dp_{u, i + j + \left[j > 0\right ] \times 2} \overset{\min}{\leftarrow} f_{u,i}+dp_{v, j} + \left [ dp_{v, j}>0 \right ]\times 2 \]

其中，\(f_{u,i}\) 表示 \(dp\) 数组的前一个版本，目的是防止用这一轮合并得到的 \(dp\) 更新这一轮的值。

注意要特判 \(u\) 为子树内唯一一个苹果的 corner，将他标记为叶子并对其特殊转移。

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define eb(x) emplace_back(x)
#define pb(x) push_back(x)
#define lc(x) (tr[x].ls)
#define rc(x) (tr[x].rs)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
using pi = pair<int, int>;
const int N = 420, inf = 0x3f3f3f3f;
int n, m, a[N], dp[N][2 * N], sz[N], f[2 * N], ans = inf;
bool leaf[N];
vector<int> g[N];
void merge(int u, int v)
{
    memcpy(f, dp[u], sizeof(f));
    memset(dp[u], 0x3f, sizeof(dp[u]));
    if(leaf[v])
    {
        for(int i = 0; i <= (sz[u] - 1) * 2; i += 2)
        {
            dp[u][i + 2] = min(dp[u][i + 2], f[i]);
            dp[u][i] = min(dp[u][i], f[i] + 2);
        }
    }
    else
    {
        for(int i = 0; i <= (sz[u] - 1) * 2; i += 2)
            for(int j = 0; j <= (sz[v] - 1) * 2; j += 2)
                dp[u][i + j + (j > 0) * 2] = min(dp[u][i + j + (j > 0) * 2], 
                                            f[i] + dp[v][j] + (dp[v][j] > 0) * 2);
    }
    sz[u] += sz[v]; 
    a[u] += a[v];    
}
void dfs(int u, int fa)
{
    bool flag = a[u];
    sz[u] = 1;
    dp[u][0] = 0;
    for(auto v : g[u])
    {
        if(v == fa) continue;
        dfs(v, u);
        merge(u, v);   
    }
    if(a[u] == 0) dp[u][0] = 0;
    else if(a[u] == 1 && flag) leaf[u] = 1;
}
int main()
{
    //freopen("sample.in", "r", stdin);
    //freopen("sample.out", "w", stdout);
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i < n; i++)
    {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int tmp;
        cin >> tmp;
        a[tmp]++;
    }
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    dfs(1, 0);
    for(int i = 0; i <= 2 * (n - 1); i++)
        ans = min(ans, max(dp[1][i], i));
    cout << ans;
    return 0;
}