Luogu P12680 Brooklyn Round 1 & NNOI Round 1 D - Apples 题解 [ 绿 ] [ LCA ] [ 线性 DP ] [ 前缀和优化 ]

Apples：糖糖题。

容易设计出一个线性 DP：\(dp_i\) 表示吃到第 \(i\) 个苹果后的最大苹果数，然后 \(O(m^2)\) 枚举前一个苹果，计算两个位置间的距离是否在时间差内，在的话就转移即可。

这样是显然不可过的，因此考虑另一个没有用到的限制：树的深度 \(\le s\)，而 \(s\le 10^3\)。注意到两点间的距离可以转化为 \(u\to lca,lca \to v\) 的两段，每一段都在一条竖着的树链上，而因为深度的限制，所以每一条竖着的树链长度都 \(\le s\)，则两点间的距离一定 \(\le 2s\)。

因此发现时间差在 \(2s\) 以外的都不用判断距离的限制了，而又因为 \(t\) 互不相同，所以要判断的苹果也不超过 \(2s\) 个，其余苹果取一个前缀最大值直接转移即可。时间复杂度 \(O(ms+n\log n)\)。

求 LCA 采用了 DFS 序求 LCA 的科技，做到了 \(O(1)\) 查询的复杂度。

将 DFS 序求 LCA 发扬光大，让欧拉序求 LCA 成为时代的眼泪！

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define eb(x) emplace_back(x)
#define pb(x) push_back(x)
#define lc(x) (tr[x].ls)
#define rc(x) (tr[x].rs)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
using pi=pair<int,int>;
const int N=100005,M=200005;
int n,m,s;
int h[N],idx,dep[N],st[N][20],lg[N],dfn[N],tot;
struct Edge{
    int v,ne;
}e[M];
struct Node{
    ll w,t,p;
    bool operator<(const Node &a)const{
        return t<a.t;
    }
}a[N];
ll dp[N],pre[N];
void add(int u,int v)
{
    e[++idx]={v,h[u]};
    h[u]=idx;
}
void dfs(int u,int fa)
{
    dfn[u]=++tot;
    st[dfn[u]][0]=fa;
    dep[u]=dep[fa]+1;
    for(int i=h[u];i;i=e[i].ne)
    {
        int v=e[i].v;
        if(v==fa)continue;
        dfs(v,u);
    }
}
int getmin(int x,int y)
{
    return (dep[x]<dep[y]?x:y);
}
void init()
{
    for(int i=1;i<=100000;i++)lg[i]=int(log2(1.0*i));
    for(int j=1;j<=19;j++)
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
            st[i][j]=getmin(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
int getlca(int u,int v)
{
    if(u==v)return u;
    u=dfn[u],v=dfn[v];
    if(u>v)swap(u,v);
    ++u;
    return getmin(st[u][lg[v-u+1]],st[v-(1<<lg[v-u+1])+1][lg[v-u+1]]);
}
int getdis(int u,int v)
{
    int lca=getlca(u,v);
    return (dep[u]+dep[v]-2*dep[lca]);
}
int main()
{
    //freopen("sample.in","r",stdin);
    //freopen("sample.out","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>n>>m>>s;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        add(u,v);
        add(v,u);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
        cin>>a[i].w>>a[i].t>>a[i].p;
    sort(a+1,a+m+1);
    dfs(1,0);
    init();
    memset(dp,-0x3f,sizeof(dp));
    memset(pre,-0x3f,sizeof(pre));
    dp[0]=pre[0]=0;
    a[0]={1,0,0};
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        for(int j=max(0,i-2*s);j<i;j++)
        {
            if(getdis(a[i].w,a[j].w)>a[i].t-a[j].t)continue;
            dp[i]=max(dp[i],dp[j]+a[i].p);
        }
        if(i-2*s>=0)dp[i]=max(dp[i],pre[i-2*s]+a[i].p);
        pre[i]=max(pre[i-1],dp[i]);
    }
    cout<<pre[m];
    return 0;
}