Luogu P1053 [NOIP 2005 提高组] 篝火晚会 题解 [ 蓝 ] [ 图论建模 ] [ 贪心 ] [ 置换环 ]

篝火晚会：挺不错的思维题。

考虑如何表示所有人的愿望，显然可以把“相邻”的条件转化为图论角度考虑，如果两人相邻则在他们之间连边。那么这张图合法当且仅当所有人都在一个连通块中，且这张图是一个环。

继续考虑有没有可能出现无法进行操作使局面变成这个环的情况。发现这是不可能的，因为如果每次都进行 \(k=2\) 的操作，就一定可以使当前局面变成任意的局面。

首先对于判定环相同的条件有点难做，于是先断环为链，枚举链的位置，则原序列与链匹配上了即为环相等。注意环可以正着也可以反着，因此要做两遍。

那么怎样的操作才是最优的呢？注意到链确定后每个人要去的位置也随之固定了，并且操作支持将任意位置的人循环移位，于是就形成了一个置换环。每个置换环内进行一次移动，置换环上的所有人便和链匹配上了。

因此一个链的最小操作代价就是 \(n-x\)，其中 \(x\) 表示不在任何一个置换环中的人的个数，即 \(pos=i\) 的个数。

当前的算法是 \(O(n^2)\) 的，考虑如何优化到线性。发现一个位置的人不在置换环中，只发生在 \(pos=i\) 的情况，因此对应的链也是唯一的。所以可以不去枚举链，而是让每个人反过来贡献链。于是每种链的代价即可算出来，取最小值即可。

时间复杂度 \(O(n)\)。

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define eb(x) emplace_back(x)
#define pb(x) push_back(x)
#define lc(x) (tr[x].ls)
#define rc(x) (tr[x].rs)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
using pi=pair<int,int>;
const int N=100005;
int f[N],n,x[N],y[N],a[N],v[N],cnt=0,ans=0x3f3f3f3f;
bitset<N>vis;
void init()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[i]=i;
}
int findf(int x)
{
    if(f[x]!=x)f[x]=findf(f[x]);
    return f[x];
}
void combine(int x,int y)
{
    int fx=findf(x),fy=findf(y);
    f[fx]=fy;
}
void dfs(int u)
{
    a[++cnt]=u;
    vis[u]=1;
    if(vis[x[u]]==0)
        dfs(x[u]);
    else if(vis[y[u]]==0)
        dfs(y[u]);
}
int main()
{
    //freopen("sample.in","r",stdin);
    //freopen("sample.out","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>n;
    init();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>x[i]>>y[i];
        combine(i,x[i]);
        combine(i,y[i]);
    }
    int tot=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        tot+=(findf(i)==i)+(x[x[i]]!=i&&y[x[i]]!=i)+(x[y[i]]!=i&&y[y[i]]!=i);
    if(tot>1)
    {
        cout<<-1;
        return 0;
    }
    dfs(1);
    fill(v,v+n+1,n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        v[(i-a[i]+n)%n]--;
    for(int i=0;i<=n;i++)
        ans=min(ans,v[i]);
    reverse(a+1,a+n+1);
    fill(v,v+n+1,n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        v[(i-a[i]+n)%n]--;
    for(int i=0;i<=n;i++)
        ans=min(ans,v[i]);    
    cout<<ans;
    return 0;
}