Codeforces 1893A Anonymous Informant 题解 [ 绿 ] [ 基环树 ] [ 倍增 ] [ 循环节 ] [ 图论建模 ]

Anonymous Informant：主播主播，你的循环节递推确实很强，但还是太吃思维了，有没有什么好想好写的图论建模推荐一下！有的兄弟，有的，像这样的图论建模还有好多，都是现在 CCF 不考的类型，告诉主播你想学哪个！

Sol.1 基环树倍增

注意到把一个序列循环移动后合法的状态只有 \(n\) 个，考虑把每个状态抽象为一个节点，假设节点 \(i\) 表示以 \(B\) 的第 \(i\) 位为开头的状态。因为需要复原原来的 \(A\) 数组，所以连边就是枚举序列中的每个数，倒着建边：$i\bmod n +1\to (B_{i}-i+n)\bmod n+1 $。其中需要保证 $ 1\le B_i \le n$，否则不能建边。

发现每个节点最多只有一条出边，是内向基环树森林，于是考虑倍增预处理，然后从状态 \(1\) 走 \(k\) 条边，看看会不会走到尽头即可。

时间复杂度 \(O(n\log k)\)。好想好写。或者也可以跑 SCC 缩点之后暴力遍历节点也可以做到 \(O(n)\)，但是要写 Tarjan，太难写了。

Sol.2 循环节递推

和上面差不多，只是多了个观察：每次移位后的 \(B_n\) 是上次移位的 \(x\)。于是可以据此推导出上一个状态。因此我们维护一个指针，表示当前序列的结尾在原序列中的位置，然后暴力跳 \(k\) 次即可。如果跳到了原来跳过的位置则说明有循环节，则一定有解，返回即可。若遇到 \(B_p >n\) 的情况，则说明一定无解。

递推公式：\(p\gets (p-B_p+n-1)\bmod n+1\)。

循环节最多长度为 \(n\)，所以时间复杂度 \(O(n)\)。

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define eb(x) emplace_back(x)
#define pb(x) push_back(x)
#define lc(x) (tr[x].ls)
#define rc(x) (tr[x].rs)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
using pi=pair<int,int>;
const int N=200005;
ll n,k,a[N];
bitset<N>vis;
void solve()
{
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    int p=n;
    vis.reset();
    while(k--)
    {
        if(a[p]>n)
        {
            cout<<"No\n";
            return;
        }
        if(vis[p]==1)
        {
            cout<<"Yes\n";
            return;
        }
        vis[p]=1;
        p=(p-a[p]+n-1)%n+1;
    }
    cout<<"Yes\n";
}
int main()
{
    //freopen("sample.in","r",stdin);
    //freopen("sample.out","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)solve();
    return 0;
}