Luogu P11833 省选联考 2025 推箱子 题解 [ 蓝 ] [ 线段树上二分 ]

推箱子：你怎么知道我今年省选场上只切了这一题？？？？？？？

比前两年省选 D2T1 简单多了，场上 20min 内出思路，但代码打了比较久。

思路

首先这题有个很显然的贪心，我们把箱子以时间为关键字进行排序，那么结束时间早的箱子就一定先被移动。

继续考虑箱子移动后能有什么影响，不难发现，一个箱子向右移动之后，在移动路线上的箱子必须都往右移动。具体地，第 \(i\) 个路径上的箱子最后的位置是 \(p+i\)，其中 \(p\) 为这个箱子移动到的位置。向左也是同理，最后位置是 \(p-i\)。

同时，因为 \(a,b\) 单调递增，所以一定不会有箱子要跨越别的箱子，同时也不会出现把一堆箱子向右移动之后最后把箱子推回来的情况。

所以我们可以尝试写出一个 \(O(n^2)\) 的暴力，每次移动一个箱子到终点的时候，递归移动左边或右边的第一个箱子，直到不需要移动，可以通过第二个和第三个大样例，可见大样例有多水。

考虑进一步优化这个做法，我们可以利用线段树来处理一整段箱子的移动。注意到箱子间的相对位置并不会改变，所以维护一个序列，存每个箱子的位置，移动一段箱子的时候，二分找到最后一个要移动的箱子的编号，然后进行区间覆盖操作即可。

具体地，我们二分右边最后一个 $pos<p+i-x $ 的箱子（\(p\) 表示最后移动到的位置，\(x\) 表示当前移动到目标位置的箱子，\(i\) 表示二分的箱子，\(pos\) 表示二分的这个箱子的位置），然后区间覆盖，维护两个值：\(p,x\)，则有标记的时候某个位置 \(i\) 就被覆盖成了 \(p+i-x\)。其实就相当于增加一个等差数列。

向左边移动也是同理，不再赘述。

时间复杂度 \(O(n \log^2 n)\)，考场上忘记线段树上二分咋写了，就没优化到单 log，实际这个应该可以用线段树上二分优化到 \(O(n\log n)\) 的。但是双 log 的做法我考场机子上卡满了也只跑了 4s 啊，正式评测估计卡不掉吧。

代码

等公布代码了再贴上去。