Codeforces 1110D Jongmah 题解 [ 蓝 ] [ 线性 dp ] [ 观察 ]

Jongmah：小清新麻将 dp 题。

观察

首先观察这两个操作的性质，不难发现我们出掉的所有的顺子只要累计出了三次，这三次顺子就一定可以化作出三次相同的单牌。

而我们只需要最大化操作次数，显然这三次顺子和三次单牌是等价的，所以我们把三次顺子转化为我们更容易处理的三次相同单牌。

同时，我们得出结论：任何一个顺子最多只能出 \(2\) 次，否则一定可以被三个相同的牌代替掉一部分顺子。

实现

这个性质就很好 dp 了，首先把所有牌扔进桶里是显然的。因为 \(i-2,i-1\) 为开头的顺子会影响 \(i\) 为开头的顺子的计算，所以我们将它们放入状态定义中。

设计 \(dp_{i,j,k}\) 表示当前出到第 \(i\) 位（位就是牌的种类），第 \(i-1\) 位为开头的顺子出了 \(j\) 个，第 \(i\) 位为开头的顺子出了 \(k\) 个。其中 \(0 \le j,k \le 2\)。第 \(i-2\) 位在给后面状态转移时不会用到，只有给当前位转移才会用到。所以在转移的时候枚举第 \(i-2\) 位出的顺子数 \(l\) 即可。

因此有如下转移：

\[dp_{i,j,k}=\max_{l=0}^{2}dp_{i-1,l,j}+\left\lfloor\frac{tot_i-j-k-l}{3}\right\rfloor+k \]

答案即为 \(dp_{m,0,0}\)，因为 \(m-1\) 位以后不足三种牌，不能组成顺子。

时间复杂度 \(O(m\times 3^3)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define lc (p<<1)
#define rc ((p<<1)|1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
using pi=pair<int,int>;
int n,m,dp[1000005][3][3],tot[1000005],ans;
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x;
		cin>>x;
		tot[x]++;
	}
	memset(dp,-0x3f,sizeof(dp));
	dp[0][0][0]=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		for(int a=0;a<3;a++)
		{
			for(int b=0;b<3;b++)
			{
				for(int c=0;c<3;c++)
				{
					if(tot[i]-a-b-c>=0)dp[i][b][c]=max(dp[i][b][c],dp[i-1][a][b]+(tot[i]-a-b-c)/3+c);
				}
			}
		}
	}
	cout<<dp[m][0][0];
	return 0;
}