CSP 初赛要点复习

位运算

逻辑与、按位与之类的东西是不同的！“逻辑”的是判断两个数都不为 \(0\)，“按位”的是判断两个数的每一个二进制位与的结果，是不同的。其他运算也类似。

运算符优先级如图所示：

注意，~ 和 ! 是同级的。

加法位运算表示：a+b=(a^b)+((a&b)<<1)。

与的符号开口向下，和交集的符号 \(∩\) 的方向相同。或的开口向上，和并集的符号 \(∪\) 的方向相同。非是一个横线加一个直角：\(\lnot\)。

逻辑运算符优先级：非、与、或。（没有异或）

编码

原码：第一位符号位，其他位正常表示数字。正数第一位 \(0\)，负数第一位为 \(0\)，\(0\) 的原码有两种（即第一位为 \(1\) 或 \(0\) 都可以）。比如：\(10\to00001010,-10\to 10001010\)。

反码：正数时就是原码，负数时将其原码的符号位不变，其他位全部取反。\(0\) 的反码有两种，全 \(0\) 和全 \(1\)。比如：\(2\to 00000010,-2 \to 11111101\)。

补码：正数的补码就是其原码，负数的补码等于其反码加 \(1\)。\(0\) 的补码只有 \(1\) 个：全 \(0\)。比如：\(1 \to 00000001,-1 \to 11111111\)。

浮点数编码：阶码和尾数。阶码：小数点的位置，尾数：小数的有效位数。

表示范围：

• 原码、反码：\([-2^{31}+1,2^{31}-1]\)，因为 \(0\) 占了两个编码。
• 补码：\([-2^{31},2^{31}-1]\)，因为 \(0\) 多的一个编码给了负数。

无符号整型的范围是 \([0,2^{32}-1]\)。

注意：最高位产生进位不一定意味着运算溢出。

进制

十进制转 \(K\) 进制：短除法，记录下每次短除的余数。结果最终要倒过来。

十进制小数部分转 \(K\) 进制小数部分处理方法：每次将小数部分乘 \(K\)，记录下每次整数部分是啥，然后再砍掉整数部分继续进行，直到小数部分为 \(0\)。结果最终不用倒过来。如果是循环小数，就算到需要的精度就停下。

\(2^i\) 进制之间可以通过每 \(i\) 位合并一次的方式快速转化。

十六进制 H，十进制 D，八进制 O，二进制 B。

代码中，十六进制 0x...，十进制 ...，八进制 0...，二进制 0b...。

未知进制的做题技巧，设 \(x\) 进制，然后用 \(k \times x^i\) 表示各位数。

计算机软件系统

自求多福吧。

常用文件扩展名：

• 文本：.pdf , .doc , .txt , .md , .docx。
• 图片：.jpg , .png , .gif。
• 音频：.wav , .mp3 , .ogg。
• 视频：.avi , .wmv , .mp4。
• 程序：.exe。

注意：Linux 下程序默认没有扩展名！！！

代表性系统软件分类：

• 操作系统，很大程度上决定了计算机系统的性能。
• 语言处理程序
• 数据库管理系统

常用操作系统：

• Windows
• Windows XP
• MacOs
• Linux
• Unix
• NOI Linux
• DOS
• iOS
• Android
• Solaris

操作系统作用：控制和管理系统资源。

P2P：对等网络。
QQ、MSN、微信：即时通信软件。
BIOS：Basic Input Output System，基本输入输出系统。

计算机语言

低级语言：依赖硬件，可读性差，可移植性差。

• 机器语言，用二进制表示的代码。灵活、直接执行、速度快。
• 汇编语言，有简单的字母、单词的代码。应用于底层。

高级语言：可移植性好。

• 面向过程：自顶向下、逐步求精的模块化思想。如 C，Pascal，Fortran，Basic。
• 面向对象：把事物抽象成类，把实例化为对象。如 C++，C#，Java，Python，Javascript。

第一个高级语言：Fortran。
第一个面向对象的语言：Smalltalk。面向对象的设计雏形来自 Simula。

高级语言的翻译过程：

• 编译型语言：直接转化为机器语言，效率高，依赖编译器，跨平台性差。如 C++，C，Pascal。
• 解释型语言：执行一句翻译一句，不需要编译器，效率低，不产生目标文件。如 Python，Javescript，Java，C#。

信息编码

1Byte（字节）=8bit（比特），1Byte=1B，1bit=1b。
1KB（千字节）=1024Byte
1MB（兆字节）=1024KB
1GB（千兆字节）=1024MB
1TB（太字节）=1024GB
1PB（拍字节）=1024TB

如果要区别 Mib 与 Mb 之类的东西，Mib 为 1024 进 1 位，Mb 为 1000 进 1 位。不区别的话默认我们描述的 1Mb 之类的是 1024 进 1 位。

英文字符用 ASCII 码，用 \(7\) 位二进制数表示，共 \(128\) 个元素。多余的最高位取 \(0\)。占 \(1\) 个字节。

汉字用 \(2\) 个字节表示，类别：

• 区位码，我国汉字交换统一标准。有区号、位号。
• 国标码，也叫交换码，等于十六进制的区位码加 2020H。
• 机内码，计算机内部识别汉字的编码，最高位是 \(1\)，与 ASCII 区别开了。

字形码：显示汉字时计算机用的字模。是 \(n \times n\) 的点阵。

图像数据数字化过程：

• 采样，扫描线划分成 \(M \times N\) 的格子。
• 量化：把像素值离散化为整数值。离散取值的个数叫做量化级数，表示量化的亮度值所需的二进制位数叫量化字长。量化字长越长，就越能反应图像的原有效果。
• 编码：把离散的像素矩阵编制成二进制编码组。

颜色深度=图片的位数。

一个 \(M \times N\) 像素的 \(D(位)\) 位图片，大小为 \(\frac{M \times N \times D}{8} Byte\)。

如果是视频，假设每秒帧数为 \(S(帧)\)，拍了 \(T(s)\) 秒的视频，那么大小就是：\(\frac{M \times N \times D \times S \times T}{8} Byte\)。

声音数据数字化过程：

• 采样：将连续的数字信号，每隔一段时间抽出一个信号，让他成为时间上离散的脉冲序列。
• 量化：将离散的信号幅度用二进制数表示出来。每个采样点能表示的二进制位数叫做采样位数（量化位数），反映了声音的精度。
• 编码：把信号转化为数字编码脉冲。

设音频的采样频率为 \(P(Hz)\)，采样位数为 \(D(位)\)，声道数为 \(N(个)\)，时间为 \(T(s)\)。
那么数据率 \(S=\frac{P\times D \times N}{8}Byte\)。
数据量 \(K=S\times T=\frac{P\times D \times N \times T}{8}Byte\)。

哈夫曼编码：每次选定两个权值最小的 node 合并，这两个 node 指向合并之后的 node，一个 node 边赋 \(0\)，另一个赋 \(1\)。最后建出一棵树。哈夫曼编码不唯一，但必须满足以下条件：

• 任何编码都不为其他编码的前缀
• 编码最短

编码最短，是指我们自己建出来的树算出来的各字母编码长度等于他给的长度，就算满足要求。

Unicode 码，也叫万国码，是世界统一的二进制编码方式。UTF-8 最常用。

计算机储存的基本单位是 Byte，最小单位是 bit。

时间复杂度

一些常见算法复杂度需要注意：

• AVL 树（替罪羊树）删除是严格 \(O(\log n)\) 的，FHQ Treap、Splay 等平衡树都不是严格的。
• 只路径压缩或只按秩合并的并查集是 \(O(n\log n)\) 的，只有两个优化同时加才是 \(O(n\alpha)\) 的。
• ACAM 的时间复杂度是 \(O(n|\sum|)\)。
• 并查集随机合并，单次查询 / 合并的期望复杂度为 \(O(\log n)\)。
• ST 表求 \(\gcd\)，注意 \(\gcd\) 的均摊性质，预处理时间复杂度 \(O(n\log n)\)，查询复杂度 \(O(\log V)\)。
• 堆优化 Dijkstra 的复杂度是 \(O(m\log m)\)，朴素 Dijkstra 复杂度是 \(O(n^2)\)。堆优化在稠密图 / 完全图上不一定比朴素的更优。

主定理 Master Theorem：

• 形式：\(T(n) = aT(\frac{n}{b}) + n^d\)。
• 时间复杂度：
  • 若 \(\log_ba > d\)，则 \(T(n) = O(n^{\log_ba})\)。
  • 若 \(\log_ba = d\)，则 \(T(n) = O(n^d\log n)\)。
  • 若 \(\log_ba < d\)，则 \(T(n) = O(n^d)\)。
• 特例：把 \(n^d\) 换成 \(f(n)\) 后，设 \(f(n) = O(n^{\log_ba}\log^k n)\)。若 \(k\ge 1\)，则有 \(T(n) = O(n^{\log_ba} \log^{k+1}n)\)。是上述第二种情况的特例。

P / NP / NPC / NP-Hard：

• 多项式复杂度：\(n\) 出现在时间复杂度底数位置。
• 非多项式复杂度：如 \(O(x^n),O(n!)\)，一般计算机不能承受，\(n\) 出现在指数等位置。
• P：可以在多项式复杂度内解决的问题。
• NP：不能在多项式复杂度内解决的问题。
• NP-Complete：是 NP，且其余 NP 问题均能规约到该问题。
• NP-Hard：本身不一定是 NP 问题，但其余 NP 问题均能规约到该问题。

图论

• 欧拉图
  • 欧拉路径：恰好经过图中每条边一次的路径，可以经过重复的点。
  • 欧拉回路：首尾相同的欧拉路径。
  • 半欧拉图：只存在欧拉路径的图。
  • 欧拉图：只存在欧拉回路的图。
• 哈密顿图
  • 哈密顿通路：恰好经过图上每个点一次的路径。
  • 哈密顿回路：首尾之间有边存在的哈密顿通路。
  • 半哈密顿图：只存在哈密顿通路的图。
  • 哈密顿图：只存在哈密顿回路的图。
• 竞赛图：给无向完全图的每条边定向，形成的图。

Linux 操作

• 改文件名：mv <old> <new>
• 返回上一级目录：cd..
• 删除当前目录下 test 目录：rm -r test
• 执行文件：./a.out
• 杀掉名为 test 的后台进程：killall test
• 杀掉失去响应的进程：kill $pid
• 查看隐藏文件：ls -a
• 将当前目录下的文件名打印进 tmp 文件：ls > tmp
• 查看文件大小：ls -l
• 测运行时间：time ./a.out
• 从虚拟终端切换回桌面环境：Alt + F2
• NOI Linux 默认的 Shell：bash
• 查看当前系统进程 / CPU 利用率：ps
• 给 a 创建一个备份 b：cp a b
• 终止程序运行：Ctrl + C
• 以 a.in 作为 a.out 的输入文件：./a.out < a.in
• 以 a.ans 作为 a.out 的输入文件：./a.out > a.ans
• Linux 的换行符：\n
• 可执行文件后缀：.sh
• 查看当前路径：pwd
• 在当前目录下建立目录：mkdir

NOI 基础知识

• 首届 NOI 举办时间：1984
• 第 12 届 IOI 于 2000 年在北京举办。
• NOI2025 是第 42 届 NOI。
• IOI2025 是第 37 届 IOI。
• NOI 全称：全国青少年信息学奥林匹克竞赛