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摘要： 如何 DFS 到某一节点后，利用无序的子树 Hash 值，使得同构的树 Hash 值相同，不同构的 Hash 值尽量不同，且可以 $O(1)$ 地计算删除部分子树后的 Hash 值？ 树结构哈希，简称树哈希，就是解决这类问题的方法。 以某个结点为根的子树的 Hash 值，就是以它的所有儿子为根的子树的 Hash 值构成的多重集的 Hash 值，即 $$H(u)=f(\{H(v)|v \in son(u)\})$$ 其中 $H(u)$ 表示以 $u$ 为根的子树的 Hash 值，$f$ 是多重集的 Hash 函数。 阅读全文

摘要： ## 引入 矩阵哈希，又称二维前缀哈希。联系之前学习过的 [字符串哈希](https://www.cnblogs.com/zheyutao/p/19587765/StringHash)，不难得出矩阵哈希的实质：将每个不同的矩阵映射为不同的整数，期望 $O(1)$ 地比较矩阵是否相同。 对于一个 $n$ 行 $m$ 列的矩阵 $A$，定义它的矩阵 Hash 值为： $$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}A_{i,j} \ p_x^{n-i}p_y^{m-j}$$ 类似于二维前缀和的推导过程，我们得出以下两条矩阵哈希的核心结论： 阅读全文

摘要： 从定义可以看出，字符串 Hash 函数的实质是：把每个不同的字符串转化为不同的整数，希望 $O(1)$ 判断两个字符串是否相等。 然而事实上，经常会出现两个不同的字符串映射到相同的 Hash 值的现象，称为 **哈希冲突**。由此引出哈希函数两条最重要的性质。 > **性质：** 在 Hash 函数值不一样时，两个字符串一定不一样； 在 Hash 函数值一样时，两个字符串不一定一样。 对于一个长度为 $l$ 的字符串 $s$，定义其多项式 Hash 函数为：$$f(s) = \sum_{i=1}^l s[i] \times p^{l-i} \pmod M$$ 阅读全文

摘要： 无向图的连通性，主要研究割点和桥。本文介绍了割点和桥的定义及其延伸概念，介绍了如何用 Tarjan 算法求解割点与桥，包括对于图是否有重边的讨论。提供了相应的好题作为例题。普及+/提高 阅读全文

摘要： 强连通分量是极大强连通子图，通常使用 Tarjan 算法来求解。本文介绍了 DFS 生成树等概念以更好地理解 Tarjan 算法的流程。普及+/提高 阅读全文

摘要： 拓扑排序可以解决有向无环图结点间有依赖关系的排序问题。适用于 DAG 上 DP 等。 定义、实现、例题。 阅读全文

摘要： 欧拉路径问题源于一笔画问题。“出现且只出现一次”等表述往往是解题的关键。 定义、判定、构造及例题。 普及+/提高 阅读全文

摘要： 考点小记与错题整理。 阅读全文