题解：P1226 【模板】快速幂

朴素算法需要将 \(b\) 个 \(a\) 相乘，复杂度为 \(O(n)\)，无法通过此题。

参考幂运算的性质，即：

\[a^{m + n} = a^m \times a^n \]

迁移至此题，可将 \(b\) 二进制拆分，定义函数 \(f(x)\) 为二进制下 \(b\) 的第 \(x\) 位是否为 \(1\)。若 \(f(x) = 1\)，答案乘上 \(a^{2^x}\) 即可。

解决几个问题：

• 如何求 \(f(x)\)？每次令 \(b\) 除以二，若末尾为 \(1\)，第 \(x\) 轮的 \(f(x)\) 就等于一。
• 怎么求 \(a^{2^x}\)？设定 \(base\) 最开始为 \(a\)，每次变为自己的平方即可。
• 为什么变为自己的平方即可？\(a^{2^x} = a^{x^2}\)，注意到上方有一个 \(2\)，即每次平方。

注意细节即可，由于二进制的原因，复杂度为 \(O(\log b)\)：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a, b, p;
long long fastpow(long long a, long long b){
	long long ans = 1, base = a;
	while(b){
		if(b & 1) ans = ans * base % p;
		base = base * base % p;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	cin >> a >> b >> p;
	cout << a << "^" << b << " mod " << p << "=" << fastpow(a, b);
	return 0;
}